Determine todos os valores (raízes) de z tais que:
e^z=-raiz3+3 imath

Passo 1

O enunciado pede todas as soluções zinC tais que
e^z = -raiz3 + 3,i
O conteúdo aqui é a representação da exponencial complexa em forma polar. Vamos usar que, se escrevemos z = x + iy com x,yinR, então
e^z = e^x+iy = e^xl(cos y + isin yr)

Passo 2

Escrevendo z = x + iy, temos
e^z = e^x(cos y + isin y)
e queremos que isso seja igual a -raiz3+3,i. Para isso, igualamos módulo e argumento separadamente:

Passo 3

Igualando os módulos,
l|e^zr| = e^x e l|-raiz3+3,ir| = raiz(raiz3)^2 + 3^2 = raiz3+9 = 2raiz3
Logo,
e^x = 2raiz3 Longrightarrow x = lnl(2raiz3r)

Passo 4

Igualando os argumentos, precisamos de
cos y = -raiz32raiz3 = -tfrac12, sin y = 32raiz3 = raiz32
Essas duas igualdades ocorrem quando
y = 2pi3 + 2pi k, kinZ,
pois nesse ângulo cos y=-tfrac12 e sin y=tfracraiz32.

Resposta

Juntando e , todas as soluções são

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