Sejam
e
. Se
, então
vale:
Passo 1
Beleza, vamos resumir a parada! A gente tem a função $ f(x) = \ln(\cos^2 x) $ no intervalo de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $. Queremos descobrir o limite de $ F(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ \frac{\pi}{4} $, onde $ F(x) $ é a integral de $ \left[f’(x)\right]^2 + \sin^2 2x $ em relação a $ x $. Para chegar lá, vamos precisar calcular a derivada de $ f $, elevar ao quadrado, somar com $ \sin^2 2x $, integrar tudo, e usar a condição que $ F(0) = \frac{7\pi}{8} - 4 $.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada de $ f(x) $. Sabendo que:
Usamos a regra da derivada do logaritmo:
Passo 3
Agora, vamos elevar $ f’(x) $ ao quadrado:
Passo 4
A função $ F(x) $ é a integral de $ \left[f’(x)\right]^2 + \sin^2 2x $. Substituindo o que achamos:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro, integramos $ 4 \tan^2 x $:
Sabemos que $ \tan^2 x = \sec^2 x - 1 $, então:
Passo 6
Agora, integramos $ \sin^2 2x $:
Usamos a identidade trigonométrica $ \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} $:
Passo 7
Juntando as integrais, temos:
Passo 8
Agora, vamos usar a condição inicial $ F(0) = \frac{7\pi}{8} - 4 $ para encontrar a constante $ C $:
Então:
Passo 9
Substituindo $ C $ na expressão de $ F(x) $:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos calcular o limite de $ F(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ \frac{\pi}{4} $:
Sabemos que $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $ e $ \sin \pi = 0 $, então:
Ops! Parece que houve um erro aqui. Deixe-me refazer esse último passo.
Vamos reavaliar o cálculo:
Mas isso não faz sentido, já que o resultado esperado deveria ser $ \pi $. Vamos corrigir:
Na verdade, ao simplificar a expressão de $ F(x) $, percebemos que há uma simplificação incorreta. Refazendo:
Quando $ x = \frac{\pi}{4} $:
Ainda assim, parece que o resultado é zero. Precisamos revisar todo o processo para identificar onde está o erro.
Peço desculpas pela confusão anterior. Vamos revisar e concluir corretamente:
Ao integrar, a constante de integração foi encontrada corretamente. No limite, somamos os termos e percebemos que todos se cancelam, indicando que o limite de $ F(x) $ realmente é $ 0 $. Portanto:
Resposta
O limite solicitado vale $ 0 $.