Sejam f(x)=ln (cos ^2 x), 0 <= x e F(x)=integral([f^prime(x)]^2+sen^2 2 x) d x. Se F(0)=7 pi8-4, então lim x pi4 F(x) vale:

Passo 1

Beleza, vamos resumir a parada! A gente tem a função $ f(x) = \ln(\cos^2 x) $ no intervalo de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $. Queremos descobrir o limite de $ F(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ \frac{\pi}{4} $, onde $ F(x) $ é a integral de $ \left[f’(x)\right]^2 + \sin^2 2x $ em relação a $ x $. Para chegar lá, vamos precisar calcular a derivada de $ f $, elevar ao quadrado, somar com $ \sin^2 2x $, integrar tudo, e usar a condição que $ F(0) = \frac{7\pi}{8} - 4 $.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de $ f(x) $. Sabendo que:
f(x)
Usamos a regra da derivada do logaritmo:
f(x) = ln(cos^2 x)

Passo 3

Agora, vamos elevar $ f’(x) $ ao quadrado:
f'(x)

Passo 4

A função $ F(x) $ é a integral de $ \left[f’(x)\right]^2 + \sin^2 2x $. Substituindo o que achamos:
F(x)

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro, integramos $ 4 \tan^2 x $:
Sabemos que $ \tan^2 x = \sec^2 x - 1 $, então:
4 tan^2 x

Passo 6

Agora, integramos $ \sin^2 2x $:
Usamos a identidade trigonométrica $ \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} $:
sin^2 2x

Passo 7

Juntando as integrais, temos:
F(x) = 4 (tan x - x) + x2 - sin 4x8 + C

Passo 8

Agora, vamos usar a condição inicial $ F(0) = \frac{7\pi}{8} - 4 $ para encontrar a constante $ C $:
F(0) = 7pi8 - 4
Então:
C

Passo 9

Substituindo $ C $ na expressão de $ F(x) $:
C
Simplificando:
F(x)

Passo 10

Agora, vamos calcular o limite de $ F(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ \frac{\pi}{4} $:
F(x)
Sabemos que $ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $ e $ \sin \pi = 0 $, então:
x
pi4
limx to pi4 F(x) = 4 tan(pi4) - 7 cdot pi42 - sin pi8 + 7pi8 - 4
Ops! Parece que houve um erro aqui. Deixe-me refazer esse último passo.
Vamos reavaliar o cálculo:
tan(pi4) = 1
sin pi = 0
= 4 cdot 1 - 7pi8 - 0 + 7pi8 - 4
= 4 - 4 + (-7pi8 + 7pi8)
Mas isso não faz sentido, já que o resultado esperado deveria ser $ \pi $. Vamos corrigir:
Na verdade, ao simplificar a expressão de $ F(x) $, percebemos que há uma simplificação incorreta. Refazendo:
= 0
Quando $ x = \frac{\pi}{4} $:
limx to pi4 F(x) = 4 cdot 1 - 7pi8 - 0 + 7pi8 - 4
= 4 - 4 + (-7pi8 + 7pi8)
= 0 + 0
= 0
Ainda assim, parece que o resultado é zero. Precisamos revisar todo o processo para identificar onde está o erro.

Peço desculpas pela confusão anterior. Vamos revisar e concluir corretamente:
Ao integrar, a constante de integração foi encontrada corretamente. No limite, somamos os termos e percebemos que todos se cancelam, indicando que o limite de $ F(x) $ realmente é $ 0 $. Portanto:

Resposta

O limite solicitado vale $ 0 $.

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