Determine todos os valores reais de a e de b para que o sistema de equações lineares:
r x+2 y+z=0 x+3 y+b z=3 3 x+4 y+7 z=a
Tenha infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x+2y+z=0, x+3y+bz=3, 3x+4y+7z=a,
com parâmetros a,b. O conteúdo é resolução de sistemas lineares: para ter infinitas soluções precisamos que a matriz dos coeficientes tenha posto menor que 3 (ou seja det(A)=0) e que o sistema seja consistente (posto da matriz ampliada igual ao da matriz de coeficientes).

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A= 1&2&1 1&3&b 3&4&7
e calculamos o determinante por cofactores:
det(A) =1cdot(3cdot7 - bcdot4) -2cdot(1cdot7 - bcdot3) +1cdot(1cdot4 -3cdot3) =21-4b -2(7-3b)+(4-9) =2+2b
Logo, det(A)=0 se, e somente se,
b=-1

Passo 3

Para
Isso gera o sistema
cuja solução é vezes a primeira menos vezes a segunda.

Passo 4

Para que o sistema ampliado seja consistente, a mesma combinação deve valer para os termos independentes:
a ;=;5cdot(0);-;2cdot(3);=;-6

Resposta

b=-1 e a=-6.

Exercícios relacionados