Explique por que agora segue que toda solução de um dos sistemas também é solução do outro sistema; e, portanto, os dois sistemas têm o mesmo conjunto-solução.

Passo 1

O enunciado trata de dois sistemas lineares em que um deles foi obtido a partir do outro por uma operação elementar de linhas: substituir uma equação Ei pela soma Ei + alpha Ej, onde alpha é escalar e Ej é outra equação do sistema. O objetivo é mostrar que essa operação não altera o conjunto das soluções.

Passo 2

Seja x uma solução do sistema original. Isso significa que x satisfaz todas as equações, em particular
Ei(x) = 0 e Ej(x) = 0
No sistema modificado, a equação substituída é
Ei'(x) := Ei(x) + alpha,Ej(x) = 0
Mas como Ei(x)=0 e Ej(x)=0, segue que
Ei'(x) = 0 + alphacdot 0 = 0
Logo, x satisfaz todas as equações do sistema modificado.

Passo 3

Agora seja x uma solução do sistema modificado. Nesse sistema temos
Ei'(x) = Ei(x) + alpha,Ej(x) = 0 e Ej(x) = 0,
pois Ej não foi alterada. Da segunda igualdade segue Ej(x)=0. Substituindo em Ei' obtemos
Ei(x) = Ei'(x) - alpha,Ej(x) = 0 - alphacdot 0 = 0
Assim x satisfaz também Ei(x)=0 e, por construção, todas as demais equações originais.

Resposta

Como mostramos que qualquer solução do sistema original também satisfaz o sistema modificado e vice-versa, concluímos que os dois sistemas têm exatamente o mesmo conjunto-solução.

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