Explique por que agora segue que toda solução de um dos sistemas também é solução do outro sistema; e, portanto, os dois sistemas têm o mesmo conjunto-solução.
Passo 1
O enunciado trata de dois sistemas lineares em que um deles foi obtido a partir do outro por uma operação elementar de linhas: substituir uma equação
pela soma
, onde
é escalar e
é outra equação do sistema. O objetivo é mostrar que essa operação não altera o conjunto das soluções.
Passo 2
Seja
uma solução do sistema original. Isso significa que
satisfaz todas as equações, em particular
No sistema modificado, a equação substituída é
Mas como
e
, segue que
Logo,
satisfaz todas as equações do sistema modificado.
Passo 3
Agora seja
uma solução do sistema modificado. Nesse sistema temos
pois
não foi alterada. Da segunda igualdade segue
. Substituindo em
obtemos
Assim
satisfaz também
e, por construção, todas as demais equações originais.
Resposta
Como mostramos que qualquer solução do sistema original também satisfaz o sistema modificado e vice-versa, concluímos que os dois sistemas têm exatamente o mesmo conjunto-solução.