Seja V=(x, y) in R^2 mid y>0.
Suponha que sejam definidas em V uma adição e uma multiplicação por escalar tais que, para quaisquer v=(x1, y1) in V, w=(x2, y2) in V e k in R, tenhamos:
l v+w=(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2+1, y1 y2), k cdot v=k cdot(x1, y1)=(k x1+k-1, y1^k)
Sabendo que V, com essas novas operações de +e cdot, é um espaço vetorial, encontre :
(a) O elemento 0 de V, ou seja, aquele que faz o papel de vetor nulo deste espaço vetorial.
(b) O vetor w=-v que é o oposto de v=(x, y) em relação a adição.
(c)Dois vetores u e v de V (escolha valores numéricos), bem como os resultados das operações u+v, 2 v e -v.

Passo 1

O enunciado define em V=(x,y)inR^2mid y>0 uma soma
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2+1,;y1y2)
e um produto por escalar
kcdot(x1,y1)=(k x1 + k -1,;y1^k)
Como (V,+,cdot) forma espaço vetorial, vamos encontrar (a) o vetor nulo 0, (b) o oposto -v de um vetor genérico v=(x,y) e (c) ilustrar com exemplos numéricos de u e v.

Passo 2

Para achar o vetor nulo
Isto gera o sistema
Da primeira equação vem . Da segunda vem . Portanto

Passo 3

Para o oposto
Isso dá
Da primeira equação . Logo

Passo 4

Escolhendo valores numéricos, por exemplo u=(0,2) e v=(1,3), temos:
  1. Soma:
u+v=(0+1+1,;2cdot3)=(2,6)
  1. Escalar 2v:
2cdot v=(2cdot1+2-1,;3^2)=(3,9)
  1. Oposto de v, já pelo resultado do passo 3:
-v=l(-1-2,;1/3r)=(-3,tfrac13)

Resposta

(a) 0=(-1,1).
(b) Para v=(x,y), -v=(-x-2,;1/y).
(c) Tomando u=(0,2) e v=(1,3),
,u+v=(2,6),;2v=(3,9),;-v=(-3,tfrac13).

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