Seja
.
Suponha que sejam definidas em
uma adição e uma multiplicação por escalar tais que, para quaisquer
e
, tenhamos:
Sabendo que
, com essas novas operações de
, é um espaço vetorial, encontre :
(a) O elemento
de
, ou seja, aquele que faz o papel de vetor nulo deste espaço vetorial.
(b) O vetor
que é o oposto de
em relação a adição.
(c)Dois vetores
e
de
(escolha valores numéricos), bem como os resultados das operações
e
.
Suponha que sejam definidas em
(a) O elemento
(b) O vetor
(c)Dois vetores
Passo 1
O enunciado define em
uma soma
e um produto por escalar
Como
forma espaço vetorial, vamos encontrar (a) o vetor nulo
, (b) o oposto
de um vetor genérico
e (c) ilustrar com exemplos numéricos de
e
.
Passo 2
Para achar o vetor nulo
Isto gera o sistema
Da primeira equação vem . Da segunda vem
. Portanto
Passo 3
Para o oposto
Isso dá
Da primeira equação . Logo
Passo 4
Escolhendo valores numéricos, por exemplo
e
, temos:
- Soma:
- Escalar
:
- Oposto de
, já pelo resultado do passo 3:
Resposta
(a)
.
(b) Para ,
.
(c) Tomando e
,
.
(b) Para
(c) Tomando