Seja
o plano de equação
. Qual o valor aproximado (com duas casas decimais) do ângulo (medido em graus) entre o plano
e o eixo
? Observação: responda no formato: 50, 23 (cinquenta vírgula vinte e três) por exemplo. Ao usar uma calculadora para obter o resultado, certifique-se de que a calculadora está usando a medida de ângulos em graus (e não em radianos).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um plano
definido pela equação
, e queremos encontrar o ângulo entre esse plano e o eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e ângulos entre eles. Vamos precisar entender como encontrar o vetor normal ao plano e como calcular o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano
. A equação geral de um plano é dada por
, onde
é o vetor normal. No nosso caso, a equação é
, então o vetor normal é
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o eixo
. O vetor que representa a direção do eixo
é
. Esse vetor aponta diretamente na direção positiva do eixo
.
Passo 4
Para encontrar o ângulo entre o plano e o eixo
, precisamos primeiro encontrar o ângulo entre o vetor normal
e o vetor
. A fórmula para o ângulo
entre dois vetores é:
Aqui, “
” é o produto escalar dos vetores, e “
” e “
” são as normas (comprimentos) dos vetores.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, calculamos as normas dos vetores
e
:
Passo 7
Substituindo esses valores na fórmula do ângulo:
Agora, para encontrar o ângulo
, tiramos o arco cosseno:
Usando uma calculadora, certificando-se de que está em modo graus:
Passo 8
Finalmente, o ângulo entre o plano
e o eixo
é o complemento de
:
Resposta
41,81