Seja pi o plano de equação x+2y+2z=0. Qual o valor aproximado (com duas casas decimais) do ângulo (medido em graus) entre o plano pi e o eixo z? Observação: responda no formato: 50, 23 (cinquenta vírgula vinte e três) por exemplo. Ao usar uma calculadora para obter o resultado, certifique-se de que a calculadora está usando a medida de ângulos em graus (e não em radianos).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um plano pi definido pela equação x + 2y + 2z = 0, e queremos encontrar o ângulo entre esse plano e o eixo z. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e ângulos entre eles. Vamos precisar entender como encontrar o vetor normal ao plano e como calcular o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano pi. A equação geral de um plano é dada por Ax + By + Cz + D = 0, onde (A, B, C) é o vetor normal. No nosso caso, a equação é x + 2y + 2z = 0, então o vetor normal é n = (1, 2, 2).

Passo 3

Agora, vamos considerar o eixo z. O vetor que representa a direção do eixo z é v = (0, 0, 1). Esse vetor aponta diretamente na direção positiva do eixo z.

Passo 4

Para encontrar o ângulo entre o plano e o eixo z, precisamos primeiro encontrar o ângulo entre o vetor normal n e o vetor v. A fórmula para o ângulo theta entre dois vetores é:
cos(theta) = n cdot v|n| |v|
Aqui, “ n cdot v” é o produto escalar dos vetores, e “ |n|” e “ |v|” são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar n cdot v:
n cdot v = (1)(0) + (2)(0) + (2)(1) = 0 + 0 + 2 = 2

Passo 6

Agora, calculamos as normas dos vetores n e v:
|n| = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3
|v| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = raiz0 + 0 + 1 = 1

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula do ângulo:
cos(theta) = 23 times 1 = 23
Agora, para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno:
theta = arccos(23)
Usando uma calculadora, certificando-se de que está em modo graus:
theta approx 48,19^circ

Passo 8

Finalmente, o ângulo entre o plano pi e o eixo z é o complemento de theta:
Ângulo = 90^circ - 48,19^circ = 41,81^circ Â

Resposta

41,81

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