Sejam os pontos A=(1,4), B=(-2,0) e C=(5,8). Verifique se o triângulo A B C é retângulo, justificando por meio do produto escalar dos vetores associados aos lados. (1,0 pt.)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o triângulo ABC é retângulo usando produto escalar. Lembrando que dois vetores u e v são perpendiculares se, e somente se,
ucdotv=0
Para cada vértice do triângulo, formamos os vetores que saem desse vértice em direção aos outros dois e calculamos seu produto escalar.

Passo 2

Calcular os vetores dos lados:
AB=B-A=(-2-1,;0-4)=(-3,-4),
AC=C-A=(5-1,;8-4)=(4,4),
BC=C-B=(5-(-2),;8-0)=(7,8)

Passo 3

Verificar os produtos escalares nos três vértices:
No vértice A: vetores AB e AC
ABcdotAC =(-3)cdot4+(-4)cdot4 =-12-16 =-28neq0
No vértice B: vetores BA=-AB=(3,4) e BC=(7,8)
BAcdotBC =3cdot7+4cdot8 =21+32 =53neq0
No vértice C: vetores CA=-AC=(-4,-4) e CB=-BC=(-7,-8)
CAcdotCB =(-4)cdot(-7)+(-4)cdot(-8) =28+32 =60neq0

Passo 4

Como em nenhum vértice o produto escalar dos vetores formadores dos lados adjacentes é zero, não existe ângulo reto no triângulo.

Resposta

O triângulo ABC não é retângulo, pois nenhum produto escalar entre vetores de lados adjacentes é igual a zero.

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