Seja
. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
.
.
Passo 1
Vamos entender o que foi pedido. Temos o espaço vetorial
e um subconjunto
. Nosso objetivo é verificar se
é um subespaço de
.
Para isso, precisamos lembrar que, para um conjunto ser subespaço, ele deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado para adição de vetores.
- É fechado para multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.
Passo 2
Condição 1: Contém o vetor zero.
O vetor zero em
é
. Vamos verificar se ele pertence a
:
Como a equação é satisfeita, o vetor zero está em
.
Passo 3
Condição 2: Fechado para adição de vetores.
Vamos considerar dois vetores quaisquer em
:
Sabemos que:
Agora, somamos os vetores:
Para que
esteja em
, devemos ter:
Vamos expandir:
Sabemos que
e
, mas não necessariamente
e
são zero. Portanto, a soma pode não satisfazer a condição
.
Exemplo:
Escolha e
. Ambos estão em
porque
e
.
Escolha
Verificando:
Portanto,
não está em
.
Passo 4
Condição 3: Fechado para multiplicação por escalar.
Mesmo que a condição de adição não seja atendida, vamos verificar essa condição por completude.
Considere um vetor
e um escalar
. Queremos que
esteja em
, ou seja:
Como
, temos
, então a condição é satisfeita.
Resposta
O subconjunto
não é um subespaço de
, pois não é fechado para a adição de vetores.