Seja V=R^3. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V.
W=(x, y, z) in V: x y=0.

Passo 1

Vamos entender o que foi pedido. Temos o espaço vetorial e um subconjunto . Nosso objetivo é verificar se é um subespaço de .
Para isso, precisamos lembrar que, para um conjunto ser subespaço, ele deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado para adição de vetores.
  3. É fechado para multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 2

Condição 1: Contém o vetor zero.
O vetor zero em x cdot y = 0 cdot 0 = 0 é . Vamos verificar se ele pertence a :
Como a equação é satisfeita, o vetor zero está em .

Passo 3

Condição 2: Fechado para adição de vetores.
Vamos considerar dois vetores quaisquer em u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) :
x1 cdot y1 = 0 e x2 cdot y2 = 0
Sabemos que:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Agora, somamos os vetores:
(x1 + x2) cdot (y1 + y2) = 0
Para que x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 esteja em u + v = (1 + 0, 0 + 1, 0 + 0) = (1, 1, 0) , devemos ter:
1 cdot 1 = 1 neq 0
Vamos expandir:
Sabemos que e , mas não necessariamente e são zero. Portanto, a soma pode não satisfazer a condição .
Exemplo:
Escolha e . Ambos estão em porque e .
Verificando:
Portanto, não está em .

Passo 4

Condição 3: Fechado para multiplicação por escalar.
Mesmo que a condição de adição não seja atendida, vamos verificar essa condição por completude.
Considere um vetor (c x) cdot (c y) = c^2 x y = 0 e um escalar . Queremos que esteja em , ou seja:
Como , temos , então a condição é satisfeita.

Resposta

O subconjunto não é um subespaço de , pois não é fechado para a adição de vetores.

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