Determine todos os valores de z \in \mathrm{C} tais que:
e^{z}=-2

Passo 1

O enunciado pede todos os números complexos z tais que
e^{z}=-2.
Informações dadas:
  • O lado direito é o número real negativo -2 (módulo 2 e argumento \pi módulo 2\pi).
  • Procuramos todos os z\in\mathbb{C} que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Escrevo z na forma usual de números complexos:
z = x + i y,
onde x e y são números reais. A ideia é usar a fórmula do exponencial complexo para separar a parte real e a parte imaginária.

Passo 3

Recordando a fórmula do exponencial complexo:
e^{x+iy}=e^{x}\big(\cos y + i\sin y\big).
Explicando: e^{x} é o fator de módulo (positivo) e \cos y + i\sin y dá a direção (argumento) no plano complexo; y é o argumento do número e^{z} (mod 2\pi).

Passo 4

Aplicando essa fórmula ao nosso problema, temos
e^{x}\big(\cos y + i\sin y\big) = -2 + 0\cdot i.
Igualdade de números complexos significa igualdade das partes real e imaginária simultaneamente, isto é:
e^{x}\cos y = -2 \qquad\text{e}\qquad e^{x}\sin y = 0.

Passo 5

Da segunda equação e^{x}\sin y=0, como e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, segue que
\sin y = 0.
Os y reais que satisfazem \sin y=0 são
y = k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Substituo esses y na primeira equação e^{x}\cos y=-2. Para y=k\pi vale \cos y=\cos(k\pi)=(-1)^{k}. Assim:
e^{x}(-1)^{k} = -2.
Isso implica
e^{x} = -2\cdot(-1)^{k}.
Como e^{x}>0, o lado direito também precisa ser positivo, logo é necessário que -2\cdot(-1)^{k}>0. Isso ocorre exatamente quando (-1)^{k}=-1, ou seja, quando k é ímpar. Escrevendo k=2m+1 com m\in\mathbb{Z}, temos (-1)^{k}=-1 e então
e^{x}=2.

Passo 7

Resolvo e^{x}=2. Como a função exponencial tem inversa o logaritmo natural, obtemos
x = \ln 2.
Lembrando: \ln 2 é o logaritmo natural de 2, um número real positivo.

Passo 8

Juntando x=\ln 2 com os y permitidos y=(2m+1)\pi (com m\in\mathbb{Z}), escrevo a solução geral:
z = x + i y = \ln 2 + i(2m+1)\pi,\qquad m\in\mathbb{Z}.
Pode-se também trocar o índice m por k e escrever z=\ln 2 + i(2k+1)\pi,\\ k\in\mathbb{Z}. Outra forma concisa é usar o logaritmo complexo:
z = \Log(-2) = \ln 2 + i\big(\pi + 2k\pi\big),\quad k\in\mathbb{Z},
que é a mesma família de soluções por causa da periodicidade 2\pi do argumento.

Passo 9

Exemplos concretos para sentir o padrão:
  • Para k=0: z=\ln 2 + i\pi.
  • Para k=1: z=\ln 2 + i3\pi.
  • Para k=-1: z=\ln 2 - i\pi.
    Todos esses satisfazem e^{z}=-2 porque acrescentar 2\pi i ao expoente não altera o exponencial complexo.

Resposta

\displaystyle z=\ln 2 + i(2k+1)\pi,\quad k\in\mathbb{Z}

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