Determine todos os valores de
tais que:
Passo 1
O enunciado pede todos os números complexos
tais que
Informações dadas:
- O lado direito é o número real negativo
(módulo e argumento módulo ). - Procuramos todos os
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Escrevo
na forma usual de números complexos:
onde
e
são números reais. A ideia é usar a fórmula do exponencial complexo para separar a parte real e a parte imaginária.
Passo 3
Recordando a fórmula do exponencial complexo:
Explicando:
é o fator de módulo (positivo) e
dá a direção (argumento) no plano complexo;
é o argumento do número
(mod
).
Passo 4
Aplicando essa fórmula ao nosso problema, temos
Igualdade de números complexos significa igualdade das partes real e imaginária simultaneamente, isto é:
Passo 5
Da segunda equação
, como
para todo
, segue que
Os
reais que satisfazem
são
Passo 6
Substituo esses
na primeira equação
. Para
vale
. Assim:
Isso implica
Como
, o lado direito também precisa ser positivo, logo é necessário que
. Isso ocorre exatamente quando
, ou seja, quando
é ímpar. Escrevendo
com
, temos
e então
Passo 7
Resolvo
. Como a função exponencial tem inversa o logaritmo natural, obtemos
Lembrando:
é o logaritmo natural de
, um número real positivo.
Passo 8
Juntando
com os
permitidos
(com
), escrevo a solução geral:
Pode-se também trocar o índice
por
e escrever
. Outra forma concisa é usar o logaritmo complexo:
que é a mesma família de soluções por causa da periodicidade
do argumento.
Passo 9
Exemplos concretos para sentir o padrão:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Todos esses satisfazemporque acrescentar ao expoente não altera o exponencial complexo.