Prove as seguintes afirmações:
\lim _{\operatorname{Rez} z-\infty} e^{z}=0

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\lim_{\operatorname{Re} z \to -\infty} e^{z} = 0.
Informações dadas / interpretação do pedido:
  • z é um número complexo que escrevemos como z = x + i y, onde x=\operatorname{Re} z e y=\operatorname{Im} z.
  • A expressão \operatorname{Re} z \to -\infty significa que a parte real x tende para -\infty, enquanto a parte imaginária y pode variar arbitrariamente.
  • O objetivo é mostrar que, quando x fica arbitrariamente negativo, o número complexo e^{z} fica arbitrariamente próximo de 0 (no sentido da norma usual em \mathbb{C}).

Passo 2

Lembrar e usar a fórmula de decomposição da exponencial complexa. Para z=x+iy vale
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\,e^{iy}.
Explicando de forma bem direta: a série de potências que define e^{w} para w\in\mathbb{C} satisfaz e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}; alternativamente, usar e^{iy}=\cos y + i\sin y (fórmula de Euler).
Agora calcular o módulo (norma) de e^{z}. Como |e^{iy}|=1 para todo y, obtemos
\bigl|e^{z}\bigr|=\bigl|e^{x}e^{iy}\bigr|=e^{x}\bigl|e^{iy}\bigr|=e^{x}.
Aqui expliquei cada símbolo: |\cdot| é o módulo em \mathbb{C}, e e^{x}>0 quando x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Traduzir a afirmação em termos de \varepsilon-prova (definição de limite em \mathbb{C}). Precisamos mostrar que:
para todo \varepsilon>0 existe M>0 tal que, sempre que \operatorname{Re} z < -M, tem-se \bigl|e^{z}\bigr|<\varepsilon.
Usando o cálculo do passo anterior, se \operatorname{Re} z = x < -M então
\bigl|e^{z}\bigr|=e^{x} < e^{-M}.
Portanto basta escolher M com a propriedade e^{-M}<\varepsilon. Como a função M\mapsto e^{-M} tende a 0 quando M\to +\infty, tal M existe. Uma escolha explícita conveniente é
M=\max\bigl\{0,\ln(1/\varepsilon)\bigr\}.
Verificação dessa escolha:
  • Se \varepsilon\ge 1 então \ln(1/\varepsilon)\le 0 e M=0. Para qualquer z com \operatorname{Re} z<0 temos \bigl|e^{z}\bigr|=e^{\operatorname{Re} z}\le 1\le\varepsilon, logo a condição é satisfeita.
  • Se 0<\varepsilon<1 então \ln(1/\varepsilon)>0 e M=\ln(1/\varepsilon). Sempre que \operatorname{Re} z<-M obtemos
\bigl|e^{z}\bigr|=e^{\operatorname{Re} z}<e^{-M}=e^{-\ln(1/\varepsilon)}=\varepsilon.
Isso prova a condição \bigl|e^{z}\bigr|<\varepsilon para todos os casos.

Passo 4

Conclusão: dado qualquer \varepsilon>0 encontramos M>0 (por exemplo M=\max\{0,\ln(1/\varepsilon)\}) tal que se \operatorname{Re} z < -M então \bigl|e^{z}\bigr|<\varepsilon. Pelo critério \varepsilon- \delta (adaptado ao espaço complexo), isso significa exatamente que
\lim_{\operatorname{Re} z \to -\infty} e^{z} = 0.
Intuição rápida: a parte real x controla o tamanho do exponencial via e^{x}; quando x\to -\infty o fator e^{x} vai a zero, e o fator e^{iy} apenas roda no círculo unitário sem afetar o módulo.

Resposta

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