Determine todos os valores de
tais que:
Passo 1
O que o problema pede: encontrar todos os números complexos
tais que
Informações dadas e objetivas:
- A equação envolve a função exponencial complexa
. - A incógnita é
. - Precisa-se listar todos os
que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Entendendo a exponencial complexa (aulas rápidas e necessárias).
- Se
e escrevemos com , então a definição/propriedade fundamental é
que vem da fórmula de Euler
.
- A magnitude (módulo) de
é . Logo, para que (que tem módulo ), é necessário que
- Com
temos . Para que isso valha exatamente, é preciso
o que ocorre quando
é múltiplo inteiro de
, isto é
com
.
- Conclusão importante (fato usado muitas vezes em provas):
Passo 3
Aplicando o fato ao problema concreto.
- Defina
. A equação fica . - Pelo resultado do passo anterior, existem inteiros
tais que
- Agora resolvemos essa equação linear para
. Somando e dividindo por :
- Simplificando a fração:
Passo 4
Verificação rápida e interpretação (para ficar seguro na prova).
- Para qualquer inteiro
,
e então
pois
.
- Exemplos:
dá . dá . Etc. - Intuição geométrica: as soluções formam uma reta vertical discreta no plano complexo, centrada em
com espaçamento na direção imaginária.