Determine todos os valores de z \in \mathrm{C} tais que:
e^{2 z-1}=1

Passo 1

O que o problema pede: encontrar todos os números complexos z tais que
e^{2z-1}=1.
Informações dadas e objetivas:
  • A equação envolve a função exponencial complexa e^{w}.
  • A incógnita é z\in\mathbb{C}.
  • Precisa-se listar todos os z que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Entendendo a exponencial complexa (aulas rápidas e necessárias).
  • Se w\in\mathbb{C} e escrevemos w=u+iv com u,v\in\mathbb{R}, então a definição/propriedade fundamental é
e^{w}=e^{u+iv}=e^{u}\big(\cos v + i\sin v\big),
que vem da fórmula de Euler e^{iv}=\cos v + i\sin v.
  • A magnitude (módulo) de e^{w} é |e^{w}|=e^{u}. Logo, para que e^{w}=1 (que tem módulo 1), é necessário que
e^{u}=1 \quad\Rightarrow\quad u=0.
  • Com u=0 temos e^{w}=e^{iv}=\cos v + i\sin v. Para que isso valha 1 exatamente, é preciso
\cos v = 1\quad\text{e}\quad \sin v = 0,
o que ocorre quando v é múltiplo inteiro de 2\pi, isto é v=2\pi k com k\in\mathbb{Z}.
  • Conclusão importante (fato usado muitas vezes em provas):
e^{w}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad w=2\pi i k\quad\text{para algum }k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Aplicando o fato ao problema concreto.
  • Defina w=2z-1. A equação fica e^{w}=1.
  • Pelo resultado do passo anterior, existem inteiros k tais que
2z-1 = 2\pi i k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Agora resolvemos essa equação linear para z. Somando 1 e dividindo por 2:
2z = 1 + 2\pi i k \quad\Rightarrow\quad z = \frac{1 + 2\pi i k}{2}.
  • Simplificando a fração:
z = \frac{1}{2} + \pi i k,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Verificação rápida e interpretação (para ficar seguro na prova).
  • Para qualquer inteiro k,
2z-1 = 2\left(\frac{1}{2}+\pi i k\right)-1 = 1 + 2\pi i k -1 = 2\pi i k,
e então
e^{2z-1}=e^{2\pi i k}=1,
pois e^{2\pi i k}=(\cos 2\pi k + i\sin 2\pi k)=1.
  • Exemplos: k=0 z=\tfrac{1}{2}. k=1 z=\tfrac{1}{2}+\pi i. Etc.
  • Intuição geométrica: as soluções formam uma reta vertical discreta no plano complexo, centrada em \operatorname{Re}z=\tfrac{1}{2} com espaçamento \pi na direção imaginária.

Resposta

z=\dfrac{1}{2}+\pi i k,\quad k\in\mathbb{Z}

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