Prove as seguintes afirmações:
se e só se
, para algum
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a equivalência: mostrar que, para
,
se, e somente se, existe
tal que
Informações dadas / implícitas:
-
e são números complexos quaisquer. - A função exponencial complexa
obedece às mesmas regras algébricas básicas que a exponencial real (por exemplo, para ). - É permitido usar a fórmula de Euler
para .
Passo 2
Lembrete/mini-aula (ferramenta que vamos usar).
- Se
com , então vale a fórmula de Euler:
Aqui
é a parte real positiva que controla o módulo de
, e
tem módulo
e controla a direção (argumento) no plano complexo. Em particular, o módulo de
é
e o argumento (ângulo) de
é
módulo
.
- Observação útil:
e para todo , logo .
Passo 3
Provar a implicação direta: se
então
.
- Usando a propriedade exponencial de soma, para qualquer
temos
- Como
, concluímos que
Essa direção é direta: qualquer deslocamento por
não altera o valor da exponencial (período
).
Passo 4
Provar a implicação recíproca: se
então existe
com
.
- Defina
. A hipótese implica
Portanto precisamos resolver a equação
para
.
Passo 5
Resolver
escrevendo
com
.
- Aplicando Euler:
- Igualando com
(que é ), obtemos a igualdade de número complexo:
Isto força duas igualdades reais simultâneas:
- Igualando módulos:
. Como a função exponencial real é positiva e injetora em , isso dá . - Com
, sobra . Isso exige e . As soluções reais de e são exatamente
- Portanto
. Voltando à definição de , temos
ou seja
para algum
.
Passo 6
Conclusão e comentário didático final.
- Reunindo os dois sentidos demonstrados: (i) todo deslocamento por
preserva ; (ii) se duas exponenciais complexas coincidem então seus argumentos diferem por . Logo mostramos a equivalência pedida. - Intuição: a exponencial complexa tem módulo controlado pela parte real e ângulo controlado pela parte imaginária; como o ângulo é só relevante módulo
, a exponencial é injetora apenas quando se “quotienta” pelo período . Em provas, usar a estratégia de considerar e resolver é bem direta e elegante.