Prove as seguintes afirmações:
e^{z}=e^{w} se e só se z=w+2 k \pi i, para algum k \in Z.

Passo 1

O enunciado pede para provar a equivalência: mostrar que, para z,w\in\mathbb{C},
e^{z}=e^{w}
se, e somente se, existe k\in\mathbb{Z} tal que
z=w+2k\pi i.
Informações dadas / implícitas:
  • z e w são números complexos quaisquer.
  • A função exponencial complexa e^{\cdot} obedece às mesmas regras algébricas básicas que a exponencial real (por exemplo, e^{a+b}=e^{a}e^{b} para a,b\in\mathbb{C}).
  • É permitido usar a fórmula de Euler \;e^{x+iy}=e^{x}(\cos y + i\sin y)\; para x,y\in\mathbb{R}.

Passo 2

Lembrete/mini-aula (ferramenta que vamos usar).
  • Se u=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, então vale a fórmula de Euler:
e^{u}=e^{x+iy}=e^{x}\big(\cos y + i\sin y\big).
Aqui e^{x} é a parte real positiva que controla o módulo de e^{u}, e \cos y + i\sin y tem módulo 1 e controla a direção (argumento) no plano complexo. Em particular, o módulo de e^{u} é |e^{u}|=e^{x} e o argumento (ângulo) de e^{u} é y módulo 2\pi.
  • Observação útil: \cos(2k\pi)=1 e \sin(2k\pi)=0 para todo k\in\mathbb{Z}, logo e^{2k\pi i}=1.

Passo 3

Provar a implicação direta: se z=w+2k\pi i então e^{z}=e^{w}.
  • Usando a propriedade exponencial de soma, para qualquer k\in\mathbb{Z} temos
e^{z}=e^{w+2k\pi i}=e^{w}\,e^{2k\pi i}.
  • Como e^{2k\pi i}= \cos(2k\pi)+i\sin(2k\pi)=1, concluímos que
e^{z}=e^{w}\cdot 1 = e^{w}.
Essa direção é direta: qualquer deslocamento por 2k\pi i não altera o valor da exponencial (período 2\pi i).

Passo 4

Provar a implicação recíproca: se e^{z}=e^{w} então existe k\in\mathbb{Z} com z=w+2k\pi i.
  • Defina u=z-w. A hipótese e^{z}=e^{w} implica
e^{u}=e^{z-w}=\frac{e^{z}}{e^{w}}=1.
Portanto precisamos resolver a equação e^{u}=1 para u\in\mathbb{C}.

Passo 5

Resolver e^{u}=1 escrevendo u=x+iy com x,y\in\mathbb{R}.
  • Aplicando Euler:
e^{u}=e^{x+iy}=e^{x}\big(\cos y + i\sin y\big).
  • Igualando com 1 (que é 1+0i), obtemos a igualdade de número complexo:
e^{x}\big(\cos y + i\sin y\big)=1+0i.
Isto força duas igualdades reais simultâneas:
  1. Igualando módulos: |e^{u}|=e^{x}=|1|=1. Como a função exponencial real e^{x} é positiva e injetora em \mathbb{R}, isso dá x=0.
  2. Com x=0, sobra \cos y + i\sin y = 1. Isso exige \cos y = 1 e \sin y = 0. As soluções reais de \cos y = 1 e \sin y = 0 são exatamente
y=2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Portanto u=x+iy=0 + i(2k\pi)=2k\pi i. Voltando à definição de u, temos
z-w=u=2k\pi i,
ou seja
z=w+2k\pi i
para algum k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Conclusão e comentário didático final.
  • Reunindo os dois sentidos demonstrados: (i) todo deslocamento por 2k\pi i preserva e^{\cdot}; (ii) se duas exponenciais complexas coincidem então seus argumentos diferem por 2k\pi. Logo mostramos a equivalência pedida.
  • Intuição: a exponencial complexa tem módulo controlado pela parte real e ângulo controlado pela parte imaginária; como o ângulo é só relevante módulo 2\pi, a exponencial é injetora apenas quando se “quotienta” pelo período 2\pi i. Em provas, usar a estratégia de considerar u=z-w e resolver e^{u}=1 é bem direta e elegante.

Resposta

\,z=w+2k\pi i,\quad k\in\mathbb{Z}

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