Determine todos os vetores x tais que x cdot u=m.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de todos os vetores vec x em R^n que satisfazem
vec xcdotvec u = m,
onde vec u e m são dados. O conteúdo aqui é geometria analítica: esse conjunto é um hiperplano ortogonal a vec u. Vamos usar a decomposição de vec x em parte paralela a vec u e parte perpendicular.

Passo 2

Primeiro, veja o caso degenerado vec u=vec 0. Então vec xcdotvec u=0 para todo vec x.
  • Se mneq0, não existe solução.
  • Se m=0, qualquer vec x satisfaz.

Passo 3

Agora suponha vec uneqvec 0. Toda vec x pode ser escrita como
vec x = vec xparal<=l + vec xperp,
onde vec xparal<=l é paralelo a vec u e vec xperp é perpendicular a vec u. Sabemos que
vec xparal<=l = alpha,vec u para algum escalar alpha e que vec xperpcdotvec u=0.

Passo 4

Impondo vec xcdotvec u=m, temos
(alpha,vec u+vec xperp)cdotvec u =alpha,(vec ucdotvec u)+underbracevec xperpcdotvec u0 =m
Logo
alpha = mvec ucdotvec u
Um vetor particular que funciona é
vec x0 = mvec ucdotvec u,vec u

Passo 5

A parte homogênea é o conjunto de todos vec xperp com vec xperpcdotvec u=0. Portanto a solução geral é
vec x = vec x0 + vec v,com;vec vcdotvec u=0

Resposta

Se vec u=vec0:
  • não há solução quando mneq0,
  • qualquer vec x quando m=0.
Se vec uneqvec0, todas as soluções são
boxedvec x = mvec ucdotvec u,vec u + vec v,onde vec vcdotvec u=0

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