Determine
Determine todos os vetores
que são ortogonais aos vetores
e
.
Determine todos os vetores
Passo 1
O que o problema pede: encontrar todos os vetores
que são ortogonais aos vetores
e
.
Informações dadas:
Queremos todos os
tais que
é ortogonal a
e a
, isto é, o produto escalar de
com cada um deles é zero.
Vou representar o vetor desconhecido como
onde
.
Passo 2
O que significa ser ortogonal em termos práticos: dois vetores são ortogonais quando o produto escalar (dot product) entre eles é zero. Para vetores em
o produto escalar é
Aplicando isso aos dois vetores dados, obtemos duas equações lineares para as componentes de
.
Passo 3
Escrevendo as duas condições de ortogonalidade:
- Ortogonal a
:
Portanto
- Ortogonal a
:
Portanto
Temos, então, o sistema linear
Passo 4
Resolver o sistema. Como há 2 equações e 4 incógnitas, vamos escolher duas variáveis livres e expressar as outras em função delas. Uma escolha natural é tomar
e
como parâmetros.
Defina
com
.
Das equações obtemos:
Portanto
Passo 5
Escrever
como combinação linear dos parâmetros. Separando os termos com
e
:
Isto mostra que o conjunto solução é um subespaço linear de dimensão
gerado pelos vetores
e
.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): escolha
e
.
Para
:
.
Para
:
.
As verificações conferem: ambos os vetores estão no conjunto solução, e por linearidade qualquer combinação linear também estará.