Determine
Determine todos os vetores v \in \mathbb{R}^{4} que são ortogonais aos vetores (1,0,1,1) e (0,1,-1,2).

Passo 1

O que o problema pede: encontrar todos os vetores v \in \mathbb{R}^{4} que são ortogonais aos vetores (1,0,1,1) e (0,1,-1,2).
Informações dadas:
u_1 = (1,0,1,1),\qquad u_2=(0,1,-1,2).
Queremos todos os v tais que v é ortogonal a u_1 e a u_2, isto é, o produto escalar de v com cada um deles é zero.
Vou representar o vetor desconhecido como
v = (x_1,x_2,x_3,x_4),
onde x_1,x_2,x_3,x_4\in\mathbb{R}.

Passo 2

O que significa ser ortogonal em termos práticos: dois vetores são ortogonais quando o produto escalar (dot product) entre eles é zero. Para vetores em \mathbb{R}^{4} o produto escalar é
(x_1,x_2,x_3,x_4)\cdot(y_1,y_2,y_3,y_4)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4.
Aplicando isso aos dois vetores dados, obtemos duas equações lineares para as componentes de v.

Passo 3

Escrevendo as duas condições de ortogonalidade:
  1. Ortogonal a u_1=(1,0,1,1):
v\cdot u_1 = x_1\cdot 1 + x_2\cdot 0 + x_3\cdot 1 + x_4\cdot 1 = 0.
Portanto
x_1 + x_3 + x_4 = 0.
  1. Ortogonal a u_2=(0,1,-1,2):
v\cdot u_2 = x_1\cdot 0 + x_2\cdot 1 + x_3\cdot (-1) + x_4\cdot 2 = 0.
Portanto
x_2 - x_3 + 2x_4 = 0.
Temos, então, o sistema linear
\begin{cases} x_1 + x_3 + x_4 = 0,\\[4pt] x_2 - x_3 + 2x_4 = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema. Como há 2 equações e 4 incógnitas, vamos escolher duas variáveis livres e expressar as outras em função delas. Uma escolha natural é tomar x_3 e x_4 como parâmetros.
Defina
s := x_3,\qquad t := x_4,
com s,t\in\mathbb{R}.
Das equações obtemos:
x_1 = -x_3 - x_4 = -s - t,
x_2 = x_3 - 2x_4 = s - 2t.
Portanto
v = (x_1,x_2,x_3,x_4) = (-s-t,\; s-2t,\; s,\; t).

Passo 5

Escrever v como combinação linear dos parâmetros. Separando os termos com s e t:
v = s(-1,1,1,0) + t(-1,-2,0,1).
Isto mostra que o conjunto solução é um subespaço linear de dimensão \,2 gerado pelos vetores (-1,1,1,0) e (-1,-2,0,1).

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): escolha s=1,t=0 e s=0,t=1.
Para s=1,t=0: v=(-1,1,1,0).
v\cdot u_1 = -1 + 1 + 0 = 0,\qquad v\cdot u_2 = 1 - 1 + 0 = 0.
Para s=0,t=1: v=(-1,-2,0,1).
v\cdot u_1 = -1 + 0 + 1 = 0,\qquad v\cdot u_2 = -2 - 0 + 2 = 0.
As verificações conferem: ambos os vetores estão no conjunto solução, e por linearidade qualquer combinação linear também estará.

Resposta

\{\,v\in\mathbb{R}^{4}\mid v = s(-1,1,1,0) + t(-1,-2,0,1),\\ s,t\in\mathbb{R}\,\}
\text{ou equivalentemente }v = (-s-t,\; s-2t,\; s,\; t),\\ s,t\in\mathbb{R}.

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