Use eliminação de Gauss para determinar m de modo que o sistema linear \left\{\begin{array}{c}x+y+m z=8 \\\\ -x+y+3 z=m \\\\ 3 x-7 y+4 z=10\end{array}\right. não tenha solução.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
\begin{cases} x + y + m z = 8,\\[4pt] - x + y + 3 z = m,\\[4pt] 3x - 7y + 4 z = 10, \end{cases}
e pede: determinar os valores de m para que o sistema não tenha solução.\n
Informações relevantes dadas:
\;x,y,z são as incógnitas; m é um parâmetro real presente em coeficientes e no segundo membro; precisamos achar os valores de m que tornam o sistema inconsistente (sem solução).]

Passo 2

Vamos escrever a matriz aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o termo independente):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 8\\[4pt] -1 & 1 & 3 & m\\[4pt] 3 & -7 & 4 & 10 \end{array}\right].
Explicando: a entrada da linha i e coluna j é o coeficiente da incógnita correspondente; a coluna à direita da barra vertical é o termo independente de cada equação.]

Passo 3

Objetivo da eliminação de Gauss: usar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para transformar a matriz aumentada numa forma triangular superior. Assim obtemos equações fáceis de analisar. Um sistema não tem solução quando, após eliminação, aparece uma linha do tipo
\left[\,0\;0\;0\mid c\,\right]\quad\text{com }c\neq 0,
ou seja, 0= c impossível.

Passo 4

Eliminamos a incógnita x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô.
Operações:
R_2 \leftarrow R_2 + R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Calculemos cada entrada:
  • Para R_2+R_1: ( -1 + 1,\; 1 + 1,\; 3 + m,\; m + 8 ) = (0,\;2,\;3+m,\;m+8).
  • Para R_3-3R_1: ( 3-3\cdot1,\; -7-3\cdot1,\; 4-3m,\; 10-3\cdot8 ) = (0,\;-10,\;4-3m,\;-14).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 8\\[4pt] 0 & 2 & 3+m & m+8\\[4pt] 0 & -10 & 4-3m & -14 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora eliminamos a entrada -10 da coluna y na linha 3 usando a linha 2. Como a linha 2 tem 2 na coluna y, multiplicamos R_2 por 5 e somamos a R_3 (porque 5\cdot 2 = 10 e -10 + 10 = 0):
Operação:
R_3 \leftarrow R_3 + 5R_2.
Calculemos a nova terceira linha componente a componente:
  • Coeficiente de x: 0 + 5\cdot 0 = 0.
  • Coeficiente de y: -10 + 5\cdot 2 = -10 + 10 = 0.
  • Coeficiente de z: (4-3m) + 5(3+m).
    Simplificando: (4-3m) + 5(3+m) = 4 - 3m + 15 + 5m = 19 + 2m.
  • Termo independente: -14 + 5(m+8).
    Simplificando: -14 + 5(m+8) = -14 + 5m + 40 = 26 + 5m.
Assim a matriz transformada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 8\\[4pt] 0 & 2 & 3+m & m+8\\[4pt] 0 & 0 & 19+2m & 26+5m \end{array}\right].]

Passo 6

A última linha corresponde à equação
(19+2m)\,z = 26 + 5m.
Há três casos possíveis:
  1. Se 19+2m \neq 0, então essa equação determina z e o sistema pode ter solução (ou única, dependendo das demais linhas).
  2. Se 19+2m = 0 mas 26+5m \neq 0, então a equação fica 0\cdot z = (número diferente de zero), isto é, 0 = não zero — contradição. Nesse caso o sistema é inconsistente e não tem solução.
  3. Se 19+2m = 0 e 26+5m = 0 simultaneamente, a última linha seria 0=0 e então precisaríamos analisar graus de liberdade (possivelmente infinitas soluções).
Buscamos o caso (2). Primeiro resolvemos
19+2m = 0 \quad\Rightarrow\quad m = -\frac{19}{2}.
Agora checamos o termo independente para esse m:
26 + 5m = 26 + 5\left(-\frac{19}{2}\right) = 26 - \frac{95}{2} = \frac{52-95}{2} = -\frac{43}{2},
que é diferente de zero. Portanto para m = -\dfrac{19}{2} obtemos a linha impossível 0 = -\dfrac{43}{2}, logo o sistema não tem solução.
Observação rápida: não há outro valor de m que torne a última linha do tipo 0= não zero, porque a condição é exatamente 19+2m=0.

Resposta

-\dfrac{19}{2}

Exercícios relacionados