Use eliminação de Gauss para determinar m de modo que o sistema linear \left\{\begin{array}{c}x+y+m z=8 \\\\ -x+y+3 z=m \\\\ 3 x-7 y+4 z=10\end{array}\right. não tenha solução.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear
\begin{cases} x + y + m z = 8,\\[4pt] - x + y + 3 z = m,\\[4pt] 3x - 7y + 4 z = 10, \end{cases}
e pede: determinar os valores de m para que o sistema não tenha solução.\n
Informações relevantes dadas: \;x,y,z são as incógnitas; m é um parâmetro real presente em coeficientes e no segundo membro; precisamos achar os valores de m que tornam o sistema inconsistente (sem solução).]
Passo 2
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o termo independente):
Explicando: a entrada da linha i e coluna j é o coeficiente da incógnita correspondente; a coluna à direita da barra vertical é o termo independente de cada equação.]
Passo 3
Objetivo da eliminação de Gauss: usar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para transformar a matriz aumentada numa forma triangular superior. Assim obtemos equações fáceis de analisar. Um sistema não tem solução quando, após eliminação, aparece uma linha do tipo
Agora eliminamos a entrada -10 da coluna y na linha 3 usando a linha 2. Como a linha 2 tem 2 na coluna y, multiplicamos R_2 por 5 e somamos a R_3 (porque 5\cdot 2 = 10 e -10 + 10 = 0):
Operação:
R_3 \leftarrow R_3 + 5R_2.
Calculemos a nova terceira linha componente a componente:
Se 19+2m \neq 0, então essa equação determina z e o sistema pode ter solução (ou única, dependendo das demais linhas).
Se 19+2m = 0 mas 26+5m \neq 0, então a equação fica 0\cdot z = (número diferente de zero), isto é, 0 = não zero — contradição. Nesse caso o sistema é inconsistente e não tem solução.
Se 19+2m = 0 e 26+5m = 0 simultaneamente, a última linha seria 0=0 e então precisaríamos analisar graus de liberdade (possivelmente infinitas soluções).
Buscamos o caso (2). Primeiro resolvemos
19+2m = 0 \quad\Rightarrow\quad m = -\frac{19}{2}.