Determine
Determine um vetor normal ao hiperplano de \mathbb{R}^{4} gerado pelos vetores (1,1,1,1),(1,2,1,2) e ( 1,3,2,4 ).

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^{4} e pede um vetor normal ao hiperplano por eles gerado. Os dados são:
v_1 = (1,1,1,1),\qquad v_2 = (1,2,1,2),\qquad v_3 = (1,3,2,4).
A pergunta é: determinar um vetor n\in\mathbb{R}^{4}, n\neq(0,0,0,0), que seja normal ao hiperplano gerado por v_1,v_2,v_3 (ou seja, ortogonal a cada um desses vetores).

Passo 2

O que significa “vetor normal” aqui? Significa que o vetor n=(x,y,z,w) deve ser ortogonal a cada gerador do hiperplano. A ortogonalidade entre vetores em \mathbb{R}^4 é expressa pelo produto interno (produto escalar). Para dois vetores a=(a_1,a_2,a_3,a_4) e b=(b_1,b_2,b_3,b_4) temos:
a\cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + a_4b_4.
Dois vetores são ortogonais se e só se o produto escalar entre eles for zero. Aqui queremos n\cdot v_1=0, n\cdot v_2=0 e n\cdot v_3=0.

Passo 3

Escrevemos n=(x,y,z,w)\) e aplicamos o produto escalar com cada vetor dado, obtendo um sistema homogêneo de três equações lineares em quatro incógnitas: \[\begin{cases} x+y+z+w=0,\\[4pt] x+2y+z+2w=0,\\[4pt] x+3y+2z+4w=0. \end{cases}
Cada equação vem de n\cdot v_i=0\]. Nosso objetivo agora é resolver esse sistema para encontrar todos os vetores \(n que satisfazem as três igualdades.]

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo, usando operações lineares elementares (subtrações de equações) para eliminar incógnitas sem usar calculadora.
Primeiro subtraímos a primeira equação da segunda:
(x+2y+z+2w) - (x+y+z+w) = 0 - 0
que dá
y + w = 0.
Agora subtraímos a segunda equação da terceira:
(x+3y+2z+4w) - (x+2y+z+2w) = 0 - 0
que dá
y + z + 2w = 0.

Passo 5

Usamos as relações obtidas. Da equação y+w=0 temos
y = -w.
Substituindo y=-w na equação y+z+2w=0 obtemos
(-w) + z + 2w = 0 \quad\Rightarrow\quad z + w = 0,
portanto
z = -w.
Agora usamos a primeira equação original x+y+z+w=0. Substituindo y=-w e z=-w obtemos
x + (-w) + (-w) + w = 0 \quad\Rightarrow\quad x - w = 0,
logo
x = w.

Passo 6

Temos todas as incógnitas em função do parâmetro livre w:
x = w,\qquad y = -w,\qquad z = -w,\qquad w = w.
Assim o conjunto de soluções é a reta unidimensional
\{\,w(1,-1,-1,1)\mid w\in\mathbb{R}\,\}.
Qualquer vetor dessa forma é ortogonal a v_1,v_2,v_3. Para obter um vetor normal não-nulo escolhemos o escalar mais simples w=1, o que dá o vetor
(1,-1,-1,1).

Passo 7

Verificação rápida (pra ficar tranquilo): calculemos os produtos escalares
(1,-1,-1,1)\cdot v_1 = 1-1-1+1 = 0,
(1,-1,-1,1)\cdot v_2 = 1-2-1+2 = 0,
(1,-1,-1,1)\cdot v_3 = 1-3-2+4 = 0.
Todos zero, logo o vetor realmente é normal ao hiperplano gerado pelos três vetores. Se quiser, qualquer múltiplo escalar de (1,-1,-1,1) também serve.

Resposta

(1,-1,-1,1)

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