Determine
Determine um vetor normal ao hiperplano de
gerado pelos vetores
e (
).
Determine um vetor normal ao hiperplano de
Passo 1
O enunciado dá três vetores em
e pede um vetor normal ao hiperplano por eles gerado. Os dados são:
A pergunta é: determinar um vetor
,
, que seja normal ao hiperplano gerado por
(ou seja, ortogonal a cada um desses vetores).
Passo 2
O que significa “vetor normal” aqui? Significa que o vetor
deve ser ortogonal a cada gerador do hiperplano. A ortogonalidade entre vetores em
é expressa pelo produto interno (produto escalar). Para dois vetores
e
temos:
Dois vetores são ortogonais se e só se o produto escalar entre eles for zero. Aqui queremos
,
e
.
Passo 3
Escrevemos
Cada equação vem de
que satisfazem as três igualdades.]
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo, usando operações lineares elementares (subtrações de equações) para eliminar incógnitas sem usar calculadora.
Primeiro subtraímos a primeira equação da segunda:
Primeiro subtraímos a primeira equação da segunda:
que dá
Agora subtraímos a segunda equação da terceira:
que dá
Passo 5
Usamos as relações obtidas. Da equação
temos
Substituindo
na equação
obtemos
portanto
Agora usamos a primeira equação original
. Substituindo
e
obtemos
logo
Passo 6
Temos todas as incógnitas em função do parâmetro livre
:
Assim o conjunto de soluções é a reta unidimensional
Qualquer vetor dessa forma é ortogonal a
. Para obter um vetor normal não-nulo escolhemos o escalar mais simples
, o que dá o vetor
Passo 7
Verificação rápida (pra ficar tranquilo): calculemos os produtos escalares
Todos zero, logo o vetor realmente é normal ao hiperplano gerado pelos três vetores. Se quiser, qualquer múltiplo escalar de
também serve.