Determine todos os vetores
tais que
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os vetores
que satisfazem a igualdade de distâncias
Informações dadas:
- Dois pontos em
: e . - A incógnita é o vetor
(ou ponto) em que faz as distâncias até e iguais.
O que é pedido:
- Descrever o conjunto de todos os vetores
que atendem à igualdade acima.
Passo 2
Vamos representar o vetor incógnita por suas componentes para trabalhar com as normas de forma concreta. Defina
onde
. Assim as distâncias são normas euclidianas entre vetores em
.
Pequena aula sobre norma euclidiana: para um vetor
, a norma é
Como as duas normas na igualdade são não negativas, podemos simplificar calculando o quadrado de ambas (isso evita raízes).
Passo 3
Escrevendo a condição usando componentes e elevando ao quadrado (igualdade mantém-se porque a raiz é positiva):
Agora desenvolvendo cada lado em termos de
:
Passo 4
Igualando as expressões acima:
Agora simplificamos: como
aparece em ambos os lados, ele cancela. Expandindo os quadrados restantes:
Cancele
,
e
de ambos os lados:
Dividindo por
obtemos a relação simples entre as componentes:
Passo 5
Interpretando o resultado: a condição
. Não apareceu nenhuma restrição sobre
. Logo o conjunto solução é o plano em
definido por
.
Forma paramétrica e descrição: qualquer vetor da forma
com
satisfaz a condição. Em outras palavras,
Passo 6
Pequena interpretação geométrica (útil para provas): o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos distintos
e
é o plano perpendicular ao segmento
passando pelo ponto médio de
. Aqui o vetor entre os pontos é
, que é um vetor normal ao plano solução; o ponto médio é
. A equação normal dá
que reduz a
, consistente com o resultado algébrico.
Passo 7
Checagem com exemplos rápidos para ganhar confiança:
- Tomando
(aqui ), as distâncias a e são ambas . Ok. - Tomando
(aqui ), as distâncias são iguais (mesmo valor), pois satisfazem .