Determine todos os vetores \vec{x} tais que
\|\vec{x}-(1,0,0)\|=\|\vec{x}-(0,1,0)\|

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os vetores \vec{x} que satisfazem a igualdade de distâncias
\|\vec{x}-(1,0,0)\|=\|\vec{x}-(0,1,0)\|.
Informações dadas:
  • Dois pontos em \mathbb{R}^3: A=(1,0,0) e B=(0,1,0).
  • A incógnita é o vetor \vec{x} (ou ponto) em \mathbb{R}^3 que faz as distâncias até A e B iguais.
O que é pedido:
  • Descrever o conjunto de todos os vetores \vec{x} que atendem à igualdade acima.

Passo 2

Vamos representar o vetor incógnita por suas componentes para trabalhar com as normas de forma concreta. Defina
\vec{x}=(x_1,x_2,x_3),
onde x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}. Assim as distâncias são normas euclidianas entre vetores em \mathbb{R}^3.
Pequena aula sobre norma euclidiana: para um vetor \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), a norma é
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
Como as duas normas na igualdade são não negativas, podemos simplificar calculando o quadrado de ambas (isso evita raízes).

Passo 3

Escrevendo a condição usando componentes e elevando ao quadrado (igualdade mantém-se porque a raiz é positiva):
\|\vec{x}-(1,0,0)\|^2=\|\vec{x}-(0,1,0)\|^2.
Agora desenvolvendo cada lado em termos de x_1,x_2,x_3:
\|\vec{x}-(1,0,0)\|^2=(x_1-1)^2+x_2^2+x_3^2,
\|\vec{x}-(0,1,0)\|^2=x_1^2+(x_2-1)^2+x_3^2.

Passo 4

Igualando as expressões acima:
(x_1-1)^2+x_2^2+x_3^2 = x_1^2+(x_2-1)^2+x_3^2.
Agora simplificamos: como x_3^2 aparece em ambos os lados, ele cancela. Expandindo os quadrados restantes:
x_1^2-2x_1+1 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 -2x_2 +1.
Cancele x_1^2, x_2^2 e 1 de ambos os lados:
-2x_1 = -2x_2.
Dividindo por -2 obtemos a relação simples entre as componentes:
x_1 = x_2.

Passo 5

Interpretando o resultado: a condição \,x_1=x_2\,$ é a única restrição sobre \(\vec{x}. Não apareceu nenhuma restrição sobre x_3. Logo o conjunto solução é o plano em \mathbb{R}^3 definido por x_1=x_2.
Forma paramétrica e descrição: qualquer vetor da forma
\vec{x}=(t,t,s)
com t,s\in\mathbb{R} satisfaz a condição. Em outras palavras,
\{\vec{x}\in\mathbb{R}^3 \mid x_1=x_2\}.)

Passo 6

Pequena interpretação geométrica (útil para provas): o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos distintos A e B é o plano perpendicular ao segmento AB passando pelo ponto médio de AB. Aqui o vetor entre os pontos é B-A=( -1,1,0), que é um vetor normal ao plano solução; o ponto médio é \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0\bigr). A equação normal dá
(-1,1,0)\cdot\bigl(x_1-\tfrac{1}{2},\,x_2-\tfrac{1}{2},\,x_3-0\bigr)=0,
que reduz a x_1=x_2, consistente com o resultado algébrico.

Passo 7

Checagem com exemplos rápidos para ganhar confiança:
  • Tomando \vec{x}=(0,0,0) (aqui x_1=x_2=0), as distâncias a A e B são ambas 1. Ok.
  • Tomando \vec{x}=(2,2,5) (aqui x_1=x_2=2), as distâncias são iguais (mesmo valor), pois satisfazem x_1=x_2.

Resposta

\{\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3 \mid x_1=x_2\}
\{\,(t,t,s)\mid t,s\in\mathbb{R}\,\}

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