Uma força \vec{F}=(5,3,0) atua sobre um objeto que se desloca na direção \vec{d}=(1,1,0). Determine o módulo da componente da força na direção do movimento.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • A força é o vetor \vec{F}=(5,3,0).
  • O deslocamento (direção do movimento) é dado pelo vetor \vec{d}=(1,1,0).
O que o problema pede:
  • Determinar o módulo da componente da força na direção do movimento (ou seja, quanto da força atua efetivamente ao longo da direção \vec{d}).

Passo 2

Estratégia e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Para obter a componente de \vec{F} na direção de \vec{d} primeiro precisamos a projeção escalar de \vec{F} sobre um vetor unitário na direção de \vec{d}. A fórmula para o valor escalar da projeção é
\text{proj}_{\vec{d}}\vec{F} = \vec{F}\cdot\frac{\vec{d}}{\|\vec{d}\|}.
  • O módulo (valor absoluto) dessa projeção é o módulo da componente da força na direção do movimento:
\text{módulo da componente} = \left|\vec{F}\cdot\frac{\vec{d}}{\|\vec{d}\|}\right|.ó
  • Aqui:
    • \vec{F}\cdot\vec{d} é o produto escalar, definido por
    \vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z,onde a_x,a_y,a_z são as componentes de \vec{a} e b_x,b_y,b_z as de \vec{b}.
    • \|\vec{d}\| é a norma (comprimento) de \vec{d}, definida por
    \|\vec{d}\|=\sqrt{d_x^2+d_y^2+d_z^2}.
  • Intuição rápida: multiplicar \vec{F} pelo vetor unitário na direção de \vec{d} dá quanto de \vec{F} “aponta” nessa direção. Se der negativo, significa que \vec{F} tem componente oposta ao sentido de \vec{d}; no enunciado, veremos que é positivo.

Passo 3

Calcular a norma de \vec{d}:
\|\vec{d}\|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}.

Passo 4

Construir o vetor unitário na direção de \vec{d}:
\frac{\vec{d}}{\|\vec{d}\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right).

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{F}\cdot\frac{\vec{d}}{\|\vec{d}\|}:
\vec{F}\cdot\frac{\vec{d}}{\|\vec{d}\|}=5\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+3\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+0\cdot0=\frac{5+3}{\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}.
Racionalizando / simplificando:
\frac{8}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}.

Passo 6

Obter o módulo da componente: como o valor encontrado 4\sqrt{2} é positivo, o módulo é o próprio valor. Podemos também dar uma aproximação decimal para ter sensação numérica:
4\sqrt{2}\approx 5,657.

Passo 7

Dica rápida para a prova: em vez de normalizar \vec{d} e depois fazer o produto, uma forma curta é calcular primeiro \vec{F}\cdot\vec{d} e dividir por \|\vec{d}\|. Aqui \vec{F}\cdot\vec{d}=5\cdot1+3\cdot1+0\cdot0=8 e depois 8/\sqrt{2}=4\sqrt{2}. É mais rápido na caneta e papel.

Resposta

4\sqrt{2}
\approx 5,657

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