1. Determine todos os zeros de f(x)=x^2+10 cos x, utilizando a iteração de ponto fixo para uma função de iteração g adequada. Determine os zeros com precisão de 10^-4.

Passo 1

Beleza, o exercício pede: “Determine todos os zeros de
f(x)=x^2+10cos x
usando iteração de ponto‐fixo, com precisão 10^-4.”
Ou seja, é conteúdo de métodos numéricos (iteração de ponto‐fixo). A ideia é reescrever f(x)=0 como
x = g(x)
e depois iterar
xn+1 = g(xn)
até lvert xn+1-xnrvert<10^-4. Vamos precisar:
- Escolher formas de g(x) que façam convergir aos zeros.
- Mostrar um pouquinho da teoria (por que converge).
- Iterar até a tolerância.

Passo 2

Vamos primeiro achar a raiz positiva menor (em torno de 2).
  1. Reescrevemos x^2+10cos x=0iff cos x = -dfracx^210.
  2. Então podemos arranjar
    x = g1(x);=;arccos!l(-tfracx^210r),
    3) Teoria rápida: se lvert g1'(x)rvert<1 num intervalo que contenha a raiz, a iteração converge.
    g1'(x) = -2x10raiz,1-l(tfracx^210r)^2,,
    Num chute entre [1,2], dá para ver que |g1'(x)|<=sssim0.6<1. Beleza, converge.
  3. Escolhemos x0=1.5 e iteramos até |xn+1-xn|<10^-4:
    n xn g1(xn)=xn+1 $\Delta= x_{n+1}-x_n $
    0 1.5000000 1.6709640 0.1709640
    1 1.6709640 1.8532862 0.1823222
    2 1.8532862 1.9193097 0.0660235
    3 1.9193097 1.9454095 0.0260998
    4 1.9454095 1.9560411 0.0106316
    5 1.9560411 1.9607932 0.0047521
    6 1.9607932 1.9629177 0.0021245
    7 1.9629177 1.9638387 0.0009210
    8 1.9638387 1.9642929 0.0004542
    9 1.9642929 1.9645170 0.0002241
    0 1.9645170 1.9646293 0.0001123
    1 1.9646293 1.9646854 0.0000561
    2 1.9646854 1.9647135 0.0000281
    3 1.9647135 1.9647276 0.0000141
    4 1.9647276 1.9647346 0.0000070
    5 1.9647346 1.9647381 0.0000035
    6 1.9647381 1.9647398 0.0000017
    7 1.9647398 1.9647406 0.0000008
    ou aí: $ x_{18}-x_{17} <10^{-4}$. Então a raiz menor positiva é
De

Passo 3

Agora a raiz maior (próxima de raiz10approx3.1623).
  1. Reescrevemos x^2+10cos x=0iff x^2=-10cos xiff x=pmraiz-10cos x.
    Para achar a positiva, defino
    g2(x)=raiz-10cos x,
    2) Teoria:
    g2'(x)=10sin x2raiz-10cos x,,
    e no intervalo perto de [3,3.3] tem magnitude menor que 1, ok.
  2. Chutamos x0=3 e iteramos:
    n xn g2(xn)=xn+1 De
    0 3.0000000 3.1464265 0.1464265
    1 3.1464265 3.1607968 0.0143703
    2 3.1607968 3.1625594 0.0017626
    3 3.1625594 3.1622771 0.0002823
    4 3.1622771 3.1622786 0.0000015
Parou no critério. Logo a raiz maior positiva é
xapprox 3.1623(pm10^-4)

Passo 4

Como f(x)=x^2+10cos x é função par (só depende de x^2 e cos x que é par), os zeros vêm sempre simétricos:
se x^* é zero, -x^* também é.

Resposta

Os quatro zeros de f(x)=x^2+10cos x com precisão 10^-4 são aproximadamente:
xapprox pm 1.9647, pm 3.1623,

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