- Determine todos os zeros de
, utilizando a iteração de ponto fixo para uma função de iteração
adequada. Determine os zeros com precisão de
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede: “Determine todos os zeros de
usando iteração de ponto‐fixo, com precisão
Ou seja, é conteúdo de métodos numéricos (iteração de ponto‐fixo). A ideia é reescrever
e depois iterar
até
- Escolher formas de
- Mostrar um pouquinho da teoria (por que converge).
- Iterar até a tolerância.
Passo 2
Vamos primeiro achar a raiz positiva menor (em torno de
).
-
Reescrevemos
. -
Então podemos arranjar
3) Teoria rápida: senum intervalo que contenha a raiz, a iteração converge.
Num chute entre, dá para ver que . Beleza, converge. -
Escolhemos
e iteramos até : n $\Delta= x_{n+1}-x_n $ 0 1.5000000 1.6709640 0.1709640 1 1.6709640 1.8532862 0.1823222 2 1.8532862 1.9193097 0.0660235 3 1.9193097 1.9454095 0.0260998 4 1.9454095 1.9560411 0.0106316 5 1.9560411 1.9607932 0.0047521 6 1.9607932 1.9629177 0.0021245 7 1.9629177 1.9638387 0.0009210 8 1.9638387 1.9642929 0.0004542 9 1.9642929 1.9645170 0.0002241 0 1.9645170 1.9646293 0.0001123 1 1.9646293 1.9646854 0.0000561 2 1.9646854 1.9647135 0.0000281 3 1.9647135 1.9647276 0.0000141 4 1.9647276 1.9647346 0.0000070 5 1.9647346 1.9647381 0.0000035 6 1.9647381 1.9647398 0.0000017 7 1.9647398 1.9647406 0.0000008 ou aí: $ x_{18}-x_{17} <10^{-4}$. Então a raiz menor positiva é
Passo 3
Agora a raiz maior (próxima de
).
-
Reescrevemos
.
Para achar a positiva, defino
2) Teoria:
e no intervalo perto detem magnitude menor que 1, ok. -
Chutamos
e iteramos: n 0 3.0000000 3.1464265 0.1464265 1 3.1464265 3.1607968 0.0143703 2 3.1607968 3.1625594 0.0017626 3 3.1625594 3.1622771 0.0002823 4 3.1622771 3.1622786 0.0000015
Parou no critério. Logo a raiz maior positiva é
Passo 4
Como
é função par (só depende de
e
que é par), os zeros vêm sempre simétricos:
se é zero,
também é.
se
Resposta
Os quatro zeros de
com precisão
são aproximadamente: