1. Suponha que g seja continuamente diferenciável em algum intervalo ( c, d ) que contenha o ponto fixo p de g. Mostre que se de0, existe um m, tal que se s0, então a iteração de ponto fixo converge.
  1. Um objeto em queda vertical no ar está sujeito à resistência viscosa, bem como à força da gravidade. Suponha que um objeto com massa t seja solto a uma altura s(t)=s0-m gk t+m^2 gk^2(1-e^-k t / m) e que a altura do objeto após g=32,17 segundos seja
/ s^2
onde k pés s0=300 e m=0,25 lb representa o coeficiente de resistência do ar em lb-s/pé. Suponha que k=0,1 lb-s / pé pés, 0,01 s e g in C^1[a, b]é. Determine, com precisão de p, o tempo decorrido até que o objeto alcance o solo.
24. Sejam (a, b) e g(p)=p em de0, com p0 e p. Mostre que existe um p1 tal que se p0 neq p, então, . Desse modo, independentemente de quão próxima a aproximação inicial esteja de , a próxima iteração estará mais afastada, de modo que a iteração de ponto fixo não convergirá, caso .

Passo 1

Beleza, vamos resumir: o exercício 22 diz que temos uma função g, continuamente diferenciável num intervalo (c,d) que contém um ponto p tal que g§=p. A hipótese forte é que |g′§|<1. A gente precisa mostrar que existe um δ>0 tal que, se começarmos a iteração de ponto-fixo p₀ dentro desse δ de p, as iterações p₁=g(p₀), p₂=g(p₁), … convergem para p.
Conteúdo: Teorema do Ponto Fixo (ou Banach), Teorema do Valor Médio.
O que vamos usar:
  1. Como g′ é contínua e g′§ tem módulo <1, garantimos que g′(x) fica com módulo <1 num vizinho de p.
  2. Então g é contração nesse vizinho, e uma contração garante convergência da iteração de ponto-fixo.

Passo 2

Pela continuidade de g′ em p e pelo fato de |g′§|<1, existe um número k com |g′§|<k<1 e um δ>0 tal que para todo x com |x−p|≤δ vale
|g(x)| <= k < 1
Isso é só a definição de continuidade: a gente escolhe k entre |g′§| e 1, e acha um δ que mantém g′(x) dentro de (−k,k).

Passo 3

Agora, para qualquer x,y com |x−p|≤δ e |y−p|≤δ, aplicamos o Teorema do Valor Médio na função g entre x e y: existe ξ entre x e y tal que
g(x)-g(y)=g(ξ),(x-y)
Tomando módulo,
|g(x)-g(y)| = |g(ξ)|,|x-y| <= k,|x-y|
Ou seja, g é uma contração com constante k<1 no intervalo [p−δ,p+δ].

Passo 4

Como g mapeia [p−δ,p+δ] em si mesma (isso também se verifica: se |x−p|≤δ então |g(x)−p| ≤ |g(x)−g§| = |g(x)−p| ≤ k|x−p| ≤ kδ < δ) e é contração, o Teorema do Ponto Fixo de Banach garante que a sequência
pn+1=g(pn), p0in[p-de
converge para o único ponto-fixo p.

Resposta

Existe δ>0 tal que, sempre que |p₀−p|≤δ, a iteração de ponto-fixo p_{n+1}=g(p_n) converge geometricamente para p.

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