- Suponha que
seja continuamente diferenciável em algum intervalo (
) que contenha o ponto fixo
de
. Mostre que se
, existe um
, tal que se
, então a iteração de ponto fixo converge.
- Um objeto em queda vertical no ar está sujeito à resistência viscosa, bem como à força da gravidade. Suponha que um objeto com massa
seja solto a uma altura
e que a altura do objeto após
segundos seja
onde
pés
e
representa o coeficiente de resistência do ar em lb-s/pé. Suponha que
pés,
e
. Determine, com precisão de
, o tempo decorrido até que o objeto alcance o solo.
24. Sejam
e
em
, com
e
. Mostre que existe um
tal que se
, então,
. Desse modo, independentemente de quão próxima a aproximação inicial
esteja de
, a próxima iteração
estará mais afastada, de modo que a iteração de ponto fixo não convergirá, caso
.
24. Sejam
Passo 1
Beleza, vamos resumir: o exercício 22 diz que temos uma função g, continuamente diferenciável num intervalo (c,d) que contém um ponto p tal que g§=p. A hipótese forte é que |g′§|<1. A gente precisa mostrar que existe um δ>0 tal que, se começarmos a iteração de ponto-fixo p₀ dentro desse δ de p, as iterações p₁=g(p₀), p₂=g(p₁), … convergem para p.
Conteúdo: Teorema do Ponto Fixo (ou Banach), Teorema do Valor Médio.
O que vamos usar:
Conteúdo: Teorema do Ponto Fixo (ou Banach), Teorema do Valor Médio.
O que vamos usar:
- Como g′ é contínua e g′§ tem módulo <1, garantimos que g′(x) fica com módulo <1 num vizinho de p.
- Então g é contração nesse vizinho, e uma contração garante convergência da iteração de ponto-fixo.
Passo 2
Pela continuidade de g′ em p e pelo fato de |g′§|<1, existe um número k com |g′§|<k<1 e um δ>0 tal que para todo x com |x−p|≤δ vale
Isso é só a definição de continuidade: a gente escolhe k entre |g′§| e 1, e acha um δ que mantém g′(x) dentro de (−k,k).
Passo 3
Agora, para qualquer x,y com |x−p|≤δ e |y−p|≤δ, aplicamos o Teorema do Valor Médio na função g entre x e y: existe ξ entre x e y tal que
Tomando módulo,
Ou seja, g é uma contração com constante k<1 no intervalo [p−δ,p+δ].
Passo 4
Como g mapeia [p−δ,p+δ] em si mesma (isso também se verifica: se |x−p|≤δ então |g(x)−p| ≤ |g(x)−g§| = |g(x)−p| ≤ k|x−p| ≤ kδ < δ) e é contração, o Teorema do Ponto Fixo de Banach garante que a sequência
converge para o único ponto-fixo p.
Resposta
Existe δ>0 tal que, sempre que |p₀−p|≤δ, a iteração de ponto-fixo p_{n+1}=g(p_n) converge geometricamente para p.