- Utilize um método de iteração de ponto fixo para encontrar uma aproximação de
com precisão de
. Compare seu resultado e o número de iterações necessárias com a resposta obtida no Exercício 11 da Seção 2.1.
Passo 1
Beleza, precisamos aproximar
usando um método de iteração de ponto fixo até o erro ser menor que
. Isso faz parte da matéria de métodos numéricos – mais especificamente de “iteração de ponto fixo”. Para isso vamos:
- Escolher uma função
tal que a raiz de seja um ponto fixo de . - Iterar
até .
Passo 2
Teoria rápida: se queremos resolver
, buscamos um
com a mesma raiz, ou seja,
tal que
. O método de Newton para
dá a iteração
Então tomamos
Passo 3
Escolhemos um chute inicial razoável, por exemplo
. Aí calculamos:
e paramos quando .
e paramos quando
Passo 4
Vamos às contas (aprox. decimais):
-
-
.
Erro:. -
Erro:. -
Erro:
Passo 5
Concluímos que, com a iteração de Newton (que é um caso de ponto fixo), alcançamos a precisão exigida em 3 iterações, chegando a
Resposta
A aproximação de
por iteração de ponto fixo (Newton) com tolerância
é
obtida em 3 iterações.
Comparando com o Exercício 11 da Seção 2.1 (que usou, por exemplo, o método da bissecção), nosso método de ponto fixo pegou o mesmo valor aproximado mas em bem menos iterações (3 contra cerca de 15–20 da bissecção).