1. Utilize um método de iteração de ponto fixo para encontrar uma aproximação de raiz[3]25 com precisão de 10^-4. Compare seu resultado e o número de iterações necessárias com a resposta obtida no Exercício 11 da Seção 2.1.

Passo 1

Beleza, precisamos aproximar usando um método de iteração de ponto fixo até o erro ser menor que . Isso faz parte da matéria de métodos numéricos – mais especificamente de “iteração de ponto fixo”. Para isso vamos:
  1. Escolher uma função tal que a raiz de seja um ponto fixo de .
  2. Iterar até .

Passo 2

Teoria rápida: se queremos resolver xn+1 ;=; xn - xn^3 - 253xn^2 ;=;2xn + tfrac25xn^23 , buscamos um g(x) = 2x + 25/x^23 com a mesma raiz, ou seja, tal que . O método de Newton para dá a iteração
Então tomamos

Passo 3

Escolhemos um chute inicial razoável, por exemplo . Aí calculamos:

e paramos quando .

Passo 4

Vamos às contas (aprox. decimais):
  1. .
    Erro: .

  2. Erro: .

  3. Erro:

Passo 5

Concluímos que, com a iteração de Newton (que é um caso de ponto fixo), alcançamos a precisão exigida em 3 iterações, chegando a
x3 approx 2,92398

Resposta

A aproximação de boxed2,92398, por iteração de ponto fixo (Newton) com tolerância é
obtida em 3 iterações.
Comparando com o Exercício 11 da Seção 2.1 (que usou, por exemplo, o método da bissecção), nosso método de ponto fixo pegou o mesmo valor aproximado mas em bem menos iterações (3 contra cerca de 15–20 da bissecção).

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