Uma partícula move-se ao longo de uma reta com função de posição s(t)=t^3-6 t^2+9 t+2, onde t é medido em segundos e s em metros.
(a) Em que intervalo(s) de tempo a partícula está se movendo para a direita?
(b) Em que intervalo(s) de tempo a partícula está se movendo para a esquerda?
(c) Determine a distância total percorrida pela partícula durante os 5 primeiros segundos.
(d) Determine a aceleração da partícula no instante t=2.
(e) Em que intervalo(s) de tempo a partícula está acelerando?
(f) Em que intervalo(s) de tempo a partícula está desacelerando?

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo do tempo
s(t)=t^3-6t^2+9t+2
com t em segundos e s em metros. Para resolver as perguntas, vamos usar:
  1. A velocidade v(t)=s'(t) e seu sinal para saber se a partícula vai para direita ( v>0) ou para esquerda ( v<0).
  2. A distância percorrida em [0,5] somando os trechos em que há troca de direção.
  3. A aceleração a(t)=s''(t) e seu valor em t=2, além de seu sinal para determinar quando a partícula acelera ou desacelera.

Passo 2

Calculamos a velocidade derivando s(t):
v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9
Fatorando temos
v(t)=3,(t-1)(t-3)
As raízes são t=1 e t=3.

Passo 3

Analisamos o sinal de v(t) para t>=0:
  • Em 0<t<1, escolhemos t=0,5: v>0.
  • Em 1<t<3, escolhemos t=2: v<0.
  • Em t>3, escolhemos t=4: v>0.
Logo:
(a) Movendo-se para a direita sempre que v(t)>0, isto é, em (0,1)cup(3,infty).
(b) Movendo-se para a esquerda sempre que v(t)<0, isto é, em (1,3).

Passo 4

Para a distância total em [0,5] identificamos as trocas de direção em t=1 e t=3 e calculamos s nesses instantes:
s(0)=2, s(1)=1-6+9+2=6, s(3)=27-54+27+2=2, s(5)=125-150+45+2=22
A distância total é
|s(1)-s(0)| + |s(3)-s(1)| + |s(5)-s(3)| = |6-2| + |2-6| + |22-2| = 4 + 4 + 20 = 28 m

Passo 5

A aceleração é
a(t)=s''(t)=6t-12
Em t=2 temos
a(2)=6cdot2-12=0 m/s^2

Passo 6

Analisamos o sinal de a(t)=6t-12:
  • a(t)>0 se t>2.
  • a(t)<0 se t<2.
Portanto a partícula está acelerando para t>2 e desacelerando para t<2.

Resposta

(a) (0,1)cup(3,infty)
(b) (1,3)
(c) 28 metros
(d) 0 m/s ^2
(e) t>2
(f) t<2

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