Determine o trabalho realizado pelo campo de força para deslocar uma partícula ao longo da curva interseção do cilindro com o plano , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular o trabalho realizado por um campo de força ao mover uma partícula ao longo da curva , que é a interseção de um cilindro com o plano . A orientação da curva é anti-horária quando vista de cima. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha para calcular o trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a curva . A interseção de um cilindro com o plano geralmente forma um círculo. Supondo que o cilindro seja circular e centrado na origem, sua equação pode ser , onde é o raio. Como o raio não foi especificado, vamos assumir que para simplificar. Então, a curva é o círculo no plano , com orientação anti-horária.
Passo 3
Para calcular o trabalho realizado pelo campo de força ao longo de , usamos a integral de linha:
Aqui, é o campo de força e é o vetor deslocamento ao longo da curva.
Passo 4
Vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial tal que . Além disso, em campos conservativos, a integral de linha ao longo de uma curva fechada é zero. Para verificar se é conservativo, calculamos o rotacional de :
Calculando o determinante:
Calculando cada componente:
Componente :
Componente :
Componente :
Então,
Como o rotacional de não é zero, o campo não é conservativo. Isso significa que a integral de linha não será zero e precisamos calcular diretamente a integral.
Passo 5
Agora, vamos parametrizar a curva . Como é o círculo no plano , podemos usar a parametrização padrão para um círculo:
Aqui, varia de a para completar o círculo, e é a derivada de em relação a :
Passo 6
Vamos substituir a parametrização na expressão do campo :
Agora, calculamos o produto escalar :
Então, a integral de linha se torna:
Passo 7
Vamos resolver cada termo da integral separadamente:
:
Sabemos que , então:
:
:
Podemos usar a identidade :
:
Passo 8
Agora, somamos todos os resultados:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força ao longo da curva é .