Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y, z) = (3y + z) i + (y - 3z) j + (e^x + x) k para deslocar uma partícula ao longo da curva C interseção do cilindro com o plano z = 5, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular o trabalho realizado por um campo de força ao mover uma partícula ao longo da curva , que é a interseção de um cilindro com o plano . A orientação da curva é anti-horária quando vista de cima. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha para calcular o trabalho realizado por um campo de força ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva . A interseção de um cilindro com o plano geralmente forma um círculo. Supondo que o cilindro seja circular e centrado na origem, sua equação pode ser , onde é o raio. Como o raio não foi especificado, vamos assumir que para simplificar. Então, a curva é o círculo no plano , com orientação anti-horária.

Passo 3

Para calcular o trabalho realizado pelo campo de força ao longo de , usamos a integral de linha:
Aqui, é o campo de força e é o vetor deslocamento ao longo da curva.

Passo 4

Vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial tal que . Além disso, em campos conservativos, a integral de linha ao longo de uma curva fechada é zero. Para verificar se é conservativo, calculamos o rotacional de :
Calculando o determinante:
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então,
Como o rotacional de não é zero, o campo não é conservativo. Isso significa que a integral de linha não será zero e precisamos calcular diretamente a integral.

Passo 5

Agora, vamos parametrizar a curva . Como é o círculo no plano , podemos usar a parametrização padrão para um círculo:
Aqui, varia de a para completar o círculo, e é a derivada de em relação a :

Passo 6

Vamos substituir a parametrização na expressão do campo :
Agora, calculamos o produto escalar :
Então, a integral de linha se torna:

Passo 7

Vamos resolver cada termo da integral separadamente:
  1. :
    Sabemos que , então:
  2. :
  3. :
    Podemos usar a identidade :
  4. :

Passo 8

Agora, somamos todos os resultados:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força ao longo da curva é .

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