Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função C(x) = x^2 - 80 x + 3000. Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de cálculo de custos numa empresa. A função do custo é dada por , onde é o custo em reais e é a quantidade de unidades produzidas. A missão aqui é descobrir quantas unidades a empresa deve produzir para que o custo seja mínimo e qual é esse custo mínimo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e encontrar o ponto de mínimo dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função dada é uma função quadrática da forma . Nesse caso, , e . O gráfico dessa função é uma parábola que abre para cima porque o coeficiente de é positivo. Isso significa que ela tem um ponto de mínimo.

Passo 3

Para encontrar o ponto de mínimo, precisamos calcular o vértice da parábola. A fórmula para achar a coordenada do vértice é:
Vamos substituir os valores de e :
Então, a quantidade de unidades que minimiza o custo é 40 unidades.

Passo 4

Agora que sabemos que , vamos encontrar o custo mínimo substituindo esse valor na função :
Então, o custo mínimo é R$ 1400.

Resposta

Para que o custo seja mínimo, a empresa deve produzir 40 unidades e o custo mínimo será de R$ 1400.

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