Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função
. Considerando o custo
em reais e
a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de cálculo de custos numa empresa. A função do custo é dada por
, onde
é o custo em reais e
é a quantidade de unidades produzidas. A missão aqui é descobrir quantas unidades a empresa deve produzir para que o custo seja mínimo e qual é esse custo mínimo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas e encontrar o ponto de mínimo dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função dada é uma função quadrática da forma
. Nesse caso,
,
e
. O gráfico dessa função é uma parábola que abre para cima porque o coeficiente de
é positivo. Isso significa que ela tem um ponto de mínimo.
Passo 3
Para encontrar o ponto de mínimo, precisamos calcular o vértice da parábola. A fórmula para achar a coordenada
do vértice é:
Vamos substituir os valores de
e
:
Então, a quantidade de unidades que minimiza o custo é 40 unidades.
Passo 4
Agora que sabemos que
, vamos encontrar o custo mínimo substituindo esse valor na função
:
Então, o custo mínimo é R$ 1400.
Resposta
Para que o custo seja mínimo, a empresa deve produzir 40 unidades e o custo mínimo será de R$ 1400.