É verdadeiro ou falso?
(h) A função
é periódica se e só se
é racional.
(h) A função
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “A função
é periódica se e somente se
é racional.” Vamos trabalhar com conceitos de funções periódicas e a condição para que a soma de duas funções periódicas também seja periódica. Precisaremos entender o que significa uma função ser periódica e como as frequências das funções senoidais influenciam essa periodicidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função periódica. Uma função
é dita periódica se existe um número positivo
tal que
para todo
. Esse número
é chamado de período da função.
Passo 3
Agora, vamos considerar as funções
e
. Sabemos que a função
tem período
. Então, o período de
é
e o período de
é
.
Passo 4
Para que a soma dessas duas funções seja periódica, precisamos encontrar um período comum
que seja m��ltiplo tanto de
quanto de
. Ou seja,
deve satisfazer:
onde
e
são inteiros positivos.
Passo 5
Substituindo os valores de
e
, temos:
Passo 6
Simplificando a equação acima:
Passo 7
Isso mostra que
deve ser uma razão de dois inteiros
, ou seja,
deve ser um número racional.
Passo 8
Portanto, a soma das duas funções senoidais
será periódica se e somente se
for um número racional.
Resposta
Verdadeiro. A função
é periódica se e somente se
for racional.