É verdadeiro ou falso?
(h) A função f(x) = sen(ax) + sen(bx) é periódica se e só se a / b é racional.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “A função é periódica se e somente se é racional.” Vamos trabalhar com conceitos de funções periódicas e a condição para que a soma de duas funções periódicas também seja periódica. Precisaremos entender o que significa uma função ser periódica e como as frequências das funções senoidais influenciam essa periodicidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função periódica. Uma função é dita periódica se existe um número positivo tal que para todo . Esse número é chamado de período da função.

Passo 3

Agora, vamos considerar as funções e . Sabemos que a função tem período . Então, o período de é e o período de é .

Passo 4

Para que a soma dessas duas funções seja periódica, precisamos encontrar um período comum que seja m��ltiplo tanto de quanto de . Ou seja, deve satisfazer:
onde e são inteiros positivos.

Passo 5

Substituindo os valores de e , temos:

Passo 6

Simplificando a equação acima:

Passo 7

Isso mostra que deve ser uma razão de dois inteiros , ou seja, deve ser um número racional.

Passo 8

Portanto, a soma das duas funções senoidais será periódica se e somente se for um número racional.

Resposta

Verdadeiro. A função é periódica se e somente se for racional.

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