Determine o trabalho realizado por uma força (em Newtons), entre os instantes t0=1 s e t = 2 s, sobre uma partícula de massa m=4 kg sabendo que a velocidade, em m/s, da partícula em função do tempo é dada por v(t)=2 t^3-3 t^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o trabalho realizado por uma força em uma partícula de massa 4 kg, entre os instantes de 1 segundo e 2 segundos. A velocidade da partícula está dada por v(t) = 2 t^3 - 3 t^2. Então, vamos usar conceitos de física sobre trabalho e movimento para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o trabalho ( W) realizado por uma força é dado pela integral da força ( F) em relação ao deslocamento ( s):
W = integral F , ds
Mas, como a força está fazendo a partícula se mover, podemos relacionar força com massa ( m) e aceleração ( a) usando a segunda lei de Newton:
F = m cdot a

Passo 3

Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dvdt
Então, vamos primeiro encontrar a aceleração derivando a função da velocidade v(t):
v(t) = 2 t^3 - 3 t^2 a(t) = ddt(2 t^3 - 3 t^2) = 6 t^2 - 6 t

Passo 4

Agora, usando a segunda lei de Newton, calculamos a força:
F(t) = m cdot a(t) = 4 kg cdot (6 t^2 - 6 t) = 24 t^2 - 24 t

Passo 5

Para encontrar o trabalho, precisamos integrar a força em relação ao deslocamento. Mas, como temos a força em função do tempo, vamos usar a relação:
W = integralt0^t F(t) cdot v(t) , dt
Então, substituindo F(t) e v(t):
W = integral1^2 (24 t^2 - 24 t) cdot (2 t^3 - 3 t^2) , dt

Passo 6

Vamos multiplicar as expressões dentro da integral:
(24 t^2 - 24 t)(2 t^3 - 3 t^2) = 48 t^5 - 72 t^4 - 48 t^4 + 72 t^3 = 48 t^5 - 120 t^4 + 72 t^3
Então, a integral fica:
W = integral1^2 (48 t^5 - 120 t^4 + 72 t^3) , dt

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
integral 48 t^5 , dt = 48 cdot t^66 = 8 t^6 integral -120 t^4 , dt = -120 cdot t^55 = -24 t^5 integral 72 t^3 , dt = 72 cdot t^44 = 18 t^4
Portanto:
W = [8 t^6 - 24 t^5 + 18 t^4]1^2

Passo 8

Substituímos os limites de integração:
Para t = 2:
8 (2)^6 - 24 (2)^5 + 18 (2)^4 = 8 cdot 64 - 24 cdot 32 + 18 cdot 16 = 512 - 768 + 288 = 32
Para t = 1:
8 (1)^6 - 24 (1)^5 + 18 (1)^4 = 8 - 24 + 18 = 2

Resposta

Então, o trabalho realizado pela força entre 1 s e 2 s é:
W = 32 - 2 = 30 , Jou<=s

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