Uma força, dada em Newtons, tem expressão
. Esta força atua sobre uma partícula que se desloca no plano
. Calcule o trabalho dessa força quando a partícula se desloca do ponto
ao ponto
pelos caminhos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre trabalho realizado por uma força no plano xy. A força é dada por
. Precisamos calcular o trabalho dessa força quando uma partícula se move do ponto (0,0) para (2,2) seguindo dois caminhos diferentes: um onde
e outro onde
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho usando integrais ao longo de um caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força
ao longo de um caminho é calculado pela integral de linha:
Aqui,
é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo do caminho
.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro caminho onde
. Nesse caso, podemos parametrizar o caminho usando
como parâmetro. Então,
, e
varia de 0 a 2.
Então, nosso vetor posição é:
E o diferencial deslocamento é:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na expressão da força
:
Passo 5
Calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Agora, integramos isso de
a
para encontrar o trabalho:
Passo 7
Agora, vamos para o segundo caminho onde
. Aqui, parametrize usando
como parâmetro, onde
varia de 0 a 2, e
.
Então, o vetor posição é:
E o diferencial deslocamento é:
Passo 8
Substituímos
na expressão da força
:
Passo 9
Calculamos o produto escalar
:
Passo 10
Integramos isso de
a
para encontrar o trabalho:
Resposta
O trabalho realizado pela força
ao percorrer o caminho
é 176 J, e ao percorrer o caminho
é aproximadamente 1005,71 J.