Uma força, dada em Newtons, tem expressão F(x, y)=(20 x^2 y) imath+(24 x y^2) jmath. Esta força atua sobre uma partícula que se desloca no plano xy. Calcule o trabalho dessa força quando a partícula se desloca do ponto (0,0) ao ponto (2,2) pelos caminhos x=y e y=x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre trabalho realizado por uma força no plano xy. A força é dada por F(x, y) = (20x^2y)imath + (24xy^2)jmath. Precisamos calcular o trabalho dessa força quando uma partícula se move do ponto (0,0) para (2,2) seguindo dois caminhos diferentes: um onde x = y e outro onde y = x^2. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho usando integrais ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força F ao longo de um caminho é calculado pela integral de linha:
W = integralC F cdot dr
Aqui, dr é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo do caminho C.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro caminho onde x = y. Nesse caso, podemos parametrizar o caminho usando x como parâmetro. Então, y = x, e x varia de 0 a 2.
Então, nosso vetor posição é:
r(x) = ximath + xjmath
E o diferencial deslocamento é:
dr = drdx dx = (imath + jmath) dx

Passo 4

Agora, vamos substituir y = x na expressão da força F:
F(x, y) = F(x, x) = (20x^2 cdot x)imath + (24x cdot x^2)jmath = 20x^3 imath + 24x^3 jmath

Passo 5

Calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (20x^3)(1) + (24x^3)(1) = 44x^3

Passo 6

Agora, integramos isso de x = 0 a x = 2 para encontrar o trabalho:
W1 = integral0^2 44x^3 dx = 44 integral0^2 x^3 dx = 44 [ x^44 ]0^2 = 44 ( 164 - 0 ) = 44 times 4 = 176 J

Passo 7

Agora, vamos para o segundo caminho onde y = x^2. Aqui, parametrize usando x como parâmetro, onde x varia de 0 a 2, e y = x^2.
Então, o vetor posição é:
r(x) = ximath + x^2jmath
E o diferencial deslocamento é:
dr = drdx dx = (imath + 2xjmath) dx

Passo 8

Substituímos y = x^2 na expressão da força F:
F(x, y) = F(x, x^2) = (20x^2 cdot x^2)imath + (24x cdot (x^2)^2)jmath = 20x^4 imath + 24x^5 jmath

Passo 9

Calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (20x^4)(1) + (24x^5)(2x) = 20x^4 + 48x^6

Passo 10

Integramos isso de x = 0 a x = 2 para encontrar o trabalho:
W2 = integral0^2 (20x^4 + 48x^6) dx = 20 integral0^2 x^4 dx + 48 integral0^2 x^6 dx
= 20 [ x^55 ]0^2 + 48 [ x^77 ]0^2 = 20 ( 325 ) + 48 ( 1287 ) = 128 + 61447 = 8967 + 61447 = 70407 approx 1005.71 J

Resposta

O trabalho realizado pela força F ao percorrer o caminho x = y é 176 J, e ao percorrer o caminho y = x^2 é aproximadamente 1005,71 J.

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