Obtenha os componentes (nas direções ortogonais x, y, z) da força que atua sobre a partícula, sabendo que a energia potencial associada a esta força é U(x, y, z)=x^3-2 x y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os componentes da força que atua sobre uma partícula nas direções x, y e z. A gente sabe que essa força está relacionada a uma energia potencial dada por U(x, y, z) = x^3 - 2 x y^2. A matéria envolvida aqui é a relação entre força e energia potencial, usando cálculo vetorial. Vamos precisar calcular derivadas parciais da energia potencial em relação a cada coordenada para achar os componentes da força.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força F está relacionada à energia potencial U pela equação:
F = -nabla U
Isso significa que cada componente da força é o negativo da derivada parcial da energia potencial em relação a cada coordenada.

Passo 3

Vamos calcular a componente da força na direção x, que é:
Fx = -partial Upartial x
A energia potencial é U(x, y, z) = x^3 - 2 x y^2. Então, derivando em relação a x:
partial Upartial x = 3x^2 - 2 y^2
Portanto:
Fx = - (3x^2 - 2 y^2) = -3x^2 + 2 y^2

Passo 4

Agora, vamos para a componente na direção y:
Fy = -partial Upartial y
Derivando a energia potencial em relação a y:
partial Upartial y = -4 x y
Então:
Fy = - (-4 x y) = 4 x y

Passo 5

Por fim, a componente na direção z:
Fz = -partial Upartial z
Observando a energia potencial U(x, y, z) = x^3 - 2 x y^2, percebemos que não há termo com z. Então:
partial Upartial z = 0
Logo:
Fz = -0 = 0

Resposta

Os componentes da força são:
Fx = -3x^2 + 2 y^2, Fy = 4 x y, Fz = 0

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