Determine o traço da função vetorial beta definida por beta(t)=(t,|t|).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o traço da função vetorial beta(t) = (t, |t|). Isso está relacionado ao conteúdo de funções vetoriais e geometria analítica. Pra resolver, vamos precisar entender como essa função se comporta no plano cartesiano, ou seja, quais pontos ela gera conforme t varia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função vetorial beta(t) = (t, |t|). Aqui, para cada valor de t, a função gera um ponto no plano com as coordenadas x = t e y = |t|. O valor absoluto |t| retorna sempre um número não negativo, independente se t é positivo ou negativo.

Passo 3

Agora, vamos relacionar x e y. Sabemos que x = t e y = |t|. Podemos expressar y em termos de x substituindo t por x na segunda equação:
y = |x|
Isso significa que, para cada valor de x, y será o valor absoluto de x.

Passo 4

Para visualizar o traço dessa função, vamos pensar no gráfico da equação y = |x|. Esse gráfico é uma “V” simétrica em relação ao eixo y, onde para x >= 0, y = x, e para x < 0, y = -x. Portanto, a função beta(t) traça essa forma no plano.

Resposta

O traço da função vetorial beta(t) = (t, |t|) é o gráfico da função y = |x|, formando uma “V” simétrica em relação ao eixo vertical no plano cartesiano.

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