Nos problemas 5-12, use o teorema da convolução para achar a transformada de Laplace inversa da função dada.
s(s^2+1)^2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
sl(s^2+1r)^2,
usando o teorema da convolução. O conteúdo é transformada de Laplace inversa e o que precisamos é fatorar essa função em dois fatores cujas inversas conhecemos, para depois aplicar a convolução.

Passo 2

Observe que
sl(s^2+1r)^2 = ss^2+1, 1s^2+1
Sabemos que
L^-1l[tfracss^2+1r](t)=cos t
e
L^-1l[tfrac1s^2+1r](t)=sin t.

Passo 3

Pelo teorema da convolução, a inversa de um produto é a convolução das inversas:
f(t) =L^-1l[s(s^2+1)^2r](t) =integral0^tcos!l(t-ur),sin u;du

Passo 4

Para calcular
integral0^tcos(t-u)sin u,du,
usamos a identidade
sin u,cos(t-u) =tfrac12l[sin t+sin(2u-t)r]

Passo 5

Substituindo na integral:
integral0^tcos(t-u)sin u,du =tfrac12integral0^tl[sin t+sin(2u-t)r]du =tfrac12l[sin tcdot t +integral0^tsin(2u-t),dur]
Fazendo v=2u-t mostra-se que
integral0^tsin(2u-t),du=0.
Logo a integral vale tfrac12,tsin t.

Passo 6

Concluímos que
L^-1l[s(s^2+1)^2r](t) =t2,sin t

Resposta

f(t)=t2,sin t

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