(2 pontos) Encontre o valor de
integral triplaE 4 x y d V
em que E é a região limitada por z=2 x^2+2 y^2-7 e z=1.
Dica: Utilize coordenadas cilíndricas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla de 4xy sobre a região E, que é limitada pelas superfícies z = 2x^2 + 2y^2 - 7 e z = 1. A matéria envolvida aqui é cálculo integral em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da região E. A superfície z = 2x^2 + 2y^2 - 7 é um paraboloide que abre para cima, e z = 1 é um plano horizontal. Queremos encontrar a interseção dessas duas superfícies para determinar os limites da integração.

Passo 3

Igualando as duas equações para encontrar a interseção:
2x^2 + 2y^2 - 7 = 1 2x^2 + 2y^2 = 8 x^2 + y^2 = 4
Isso descreve um círculo de raio 2 no plano xy.

Passo 4

Agora, vamos transformar as coordenadas para coordenadas cilíndricas. Lembrando que:
x = r costheta y = r sintheta z = z dV = r , dr , dtheta , dz
E x^2 + y^2 = r^2.

Passo 5

Substituindo na equação z = 2x^2 + 2y^2 - 7:
z = 2r^2 - 7
E o limite superior é z = 1.

Passo 6

Agora, estabelecemos os limites para as integrais:
r varia de 0 a 2 theta varia de 0 a 2pi z varia de 2r^2 - 7 a 1

Passo 7

Reescrevemos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaE 4xy , dV = integral0^2pi integral0^2 integral2r^2 - 7^1 4(r costheta)(r sintheta) cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando a expressão:
4r^3 costheta sintheta

Passo 8

Integramos primeiro em relação a z:
integral2r^2 - 7^1 dz = 1 - (2r^2 - 7) = 8 - 2r^2
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^2 4r^3 costheta sintheta (8 - 2r^2) , dr , dtheta

Passo 9

Vamos separar a integral:
integral0^2pi costheta sintheta , dtheta cdot integral0^2 4r^3(8 - 2r^2) , dr
Note que a parte com theta será:
integral0^2pi costheta sintheta , dtheta
Essa integral é igual a zero porque costheta sintheta é uma função ímpar em relação a theta = pi, portanto, se cancela ao integrar de 0 a 2pi.

Resposta

O valor da integral tripla integral triplaE 4xy , dV é igual a 0.

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