(2 pontos) Encontre o valor de
em que
é a região limitada por
e
.
Dica: Utilize coordenadas cilíndricas
Dica: Utilize coordenadas cilíndricas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla de
sobre a região
, que é limitada pelas superfícies
e
. A matéria envolvida aqui é cálculo integral em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da região
. A superfície
é um paraboloide que abre para cima, e
é um plano horizontal. Queremos encontrar a interseção dessas duas superfícies para determinar os limites da integração.
Passo 3
Igualando as duas equações para encontrar a interseção:
Isso descreve um círculo de raio 2 no plano
.
Passo 4
Agora, vamos transformar as coordenadas para coordenadas cilíndricas. Lembrando que:
E
.
Passo 5
Substituindo na equação
:
E o limite superior é
.
Passo 6
Agora, estabelecemos os limites para as integrais:
Passo 7
Reescrevemos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Simplificando a expressão:
Passo 8
Integramos primeiro em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Vamos separar a integral:
Note que a parte com
será:
Essa integral é igual a zero porque
é uma função ímpar em relação a
, portanto, se cancela ao integrar de
a
.
Resposta
O valor da integral tripla
é igual a 0.