(1 ponto) Seja g(x, y)=x f(x^2+y, 2 y, 2 x-y). Calcule partial gpartial x(1,1) sabendo que partial fpartial x(2,2,1)=1, partial fpartial y(2,2,1)=2, partial fpartial z(2,2,1)=3 e f(2,2,1)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a pergunta tá pedindo! Temos a função g(x, y) = x cdot f(x^2 + y, , 2y, , 2x - y) . A gente precisa descobrir a derivada parcial de g em relação a x no ponto (1, 1) , ou seja, partial gpartial x(1,1) .
Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia, que são técnicas de cálculo que ajudam a derivar funções compostas. Também vamos utilizar as informações fornecidas sobre as derivadas parciais de f e o valor de f no ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a regra do produto para derivar g(x, y) = x cdot f(u, v, w) , onde:
  • u = x^2 + y
  • v = 2y
  • w = 2x - y
A regra do produto diz que:
partial gpartial x = partialpartial x (x) cdot f(u, v, w) + x cdot partialpartial x f(u, v, w)
Sabemos que partialpartial x (x) = 1 , então:
partial gpartial x = f(u, v, w) + x cdot partial fpartial x

Passo 3

Agora, precisamos derivar f(u, v, w) em relação a x . Como f depende de u, v, w , que por sua vez dependem de x , usamos a regra da cadeia:
partial fpartial x = partial fpartial u cdot partial upartial x + partial fpartial v cdot partial vpartial x + partial fpartial w cdot partial wpartial x
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  • partial upartial x = partialpartial x (x^2 + y) = 2x
  • partial vpartial x = partialpartial x (2y) = 0 (já que y é constante em relação a x )
  • partial wpartial x = partialpartial x (2x - y) = 2
Então:
partial fpartial x = partial fpartial u cdot 2x + partial fpartial v cdot 0 + partial fpartial w cdot 2
partial fpartial x = 2x cdot partial fpartial u + 2 cdot partial fpartial w

Passo 4

Precisamos agora avaliar todas essas expressões no ponto (1,1) .
Primeiro, vamos encontrar os valores de u, v, w em (1,1) :
  • u = 1^2 + 1 = 2
  • v = 2 cdot 1 = 2
  • w = 2 cdot 1 - 1 = 1
Então, estamos avaliando f no ponto (2, 2, 1) .
Sabemos que:
  • partial fpartial u(2,2,1) = 1
  • partial fpartial v(2,2,1) = 2
  • partial fpartial w(2,2,1) = 3
  • f(2,2,1) = 1

Passo 5

Vamos substituir esses valores na expressão da derivada:
partial fpartial x = 2x cdot partial fpartial u + 2 cdot partial fpartial w
Em (1,1) , x = 1 , então:
partial fpartial x = 2 cdot 1 cdot 1 + 2 cdot 3 = 2 + 6 = 8

Passo 6

Agora, voltamos à expressão da derivada de g :
partial gpartial x = f(u, v, w) + x cdot partial fpartial x
Substituindo os valores:
partial gpartial x(1,1) = f(2,2,1) + 1 cdot 8 = 1 + 8 = 9

Resposta

partial gpartial x(1,1) = 9

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