(1 ponto) Seja
. Calcule
sabendo que
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a pergunta tá pedindo! Temos a função
. A gente precisa descobrir a derivada parcial de
em relação a
no ponto
, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia, que são técnicas de cálculo que ajudam a derivar funções compostas. Também vamos utilizar as informações fornecidas sobre as derivadas parciais de
e o valor de
no ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a regra do produto para derivar
, onde:
A regra do produto diz que:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, precisamos derivar
em relação a
. Como
depende de
, que por sua vez dependem de
, usamos a regra da cadeia:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
-
-
(já que é constante em relação a ) -
Então:
Passo 4
Precisamos agora avaliar todas essas expressões no ponto
.
Primeiro, vamos encontrar os valores de
em
:
Então, estamos avaliando
no ponto
.
Sabemos que:
Passo 5
Vamos substituir esses valores na expressão da derivada:
Em
,
, então:
Passo 6
Agora, voltamos à expressão da derivada de
:
Substituindo os valores: