Encontre as seguintes integrais usando a técnica de frações parciais:
integral d xx(x^2+4)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral dxx,(x^2+4)
usando a técnica de frações parciais. Esse método consiste em expressar a função racional como soma de termos simples, cuja antiderivada é conhecida (logaritmos, arctangentes etc.).

Passo 2

Procuramos constantes A,B,C tais que
1x,(x^2+4) =Ax+B,x+Cx^2+4
Multiplicando ambos os lados por x,(x^2+4) obtemos
1 = A,(x^2+4)+(B,x+C),x = (A+B),x^2 + C,x + 4A

Passo 3

Igualamos coeficientes de cada potência de x:
A + B = 0, C = 0, 4A = 1
Dessa forma
A = tfrac14, B = -tfrac14, C = 0

Passo 4

Substituindo em cada fração, a integral vira
integraldxx(x^2+4) =integrall(1/4x-1/4,xx^2+4r)dx =14integraldxx-14integralx,dxx^2+4

Passo 5

Cada termo é conhecido:
integraldxx = lnlvert xrvert, integralx,dxx^2+4 = 12lnl(x^2+4r)
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integraldxx(x^2+4) =14lnlvert xrvert -14cdot12lnl(x^2+4r) + C =14lnlvert xrvert -18lnl(x^2+4r) + C

Resposta

boxed integral dxx(x^2+4) =14lnlvert xrvert -18lnl(x^2+4r) + C

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