Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas
y=lambda e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por y = lambda e^x . Isso está relacionado ao estudo de trajetórias ortogonais, que são curvas que se cruzam formando um ângulo de 90 graus. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a família de curvas que temos: y = lambda e^x . Aqui, lambda é uma constante que pode variar, gerando diferentes curvas para cada valor de lambda . Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos descobrir a inclinação (a derivada) dessas curvas originais.

Passo 3

Vamos derivar y em relação a x :
dydx = ddx (lambda e^x) = lambda e^x = y
Então, a equação diferencial que descreve a família de curvas é:
dydx = y

Passo 4

As trajetórias ortogonais têm uma inclinação que é o recíproco negativo da inclinação das curvas originais. Então, a equação diferencial para as trajetórias ortogonais será:
dydx = -1y
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar as trajetórias ortogonais.

Passo 5

Vamos separar as variáveis e integrar:
y , dy = -dx
Integrando ambos os lados:
integral y , dy = integral -dx y^22 = -x + C
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
y^2 = -2x + 2C
Podemos chamar 2C de outra constante, digamos C' , mas para simplificar, vamos manter como C .

Resposta

As trajetórias ortogonais são dadas por:
y^2 + 2x = C
onde C é uma constante qualquer.

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