O plano tangente à superfície
num ponto
é paralelo ao plano
. A reta normal a esta superfície no ponto
intercepta o plano
em que ponto?
Passo 1
O enunciado dá a superfície implícita
e diz que o plano tangente em
é paralelo ao plano
Para achar
vamos usar que o vetor normal ao plano tangente é dado por
, onde
e esse vetor deve ser proporcional a
. Depois, a reta normal em
tem direção
e intercepta o plano
(que é
); basta achar esse ponto de interseção.
Passo 2
Calculemos o gradiente de
:
Em
isso vale
Passo 3
A condição de paralelismo diz que existe
tal que
Isso gera o sistema
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira e terceira:
Logo
.
Passo 4
A reta normal em
é
Para intersectar o plano
basta pôr
:
Então o ponto de interseção é
e
.