O plano tangente à superfície 4 z^2-5 x^2+y^3=-9 num ponto P(a,-2, b) é paralelo ao plano 5 x-6 y+4 z-11=0. A reta normal a esta superfície no ponto P intercepta o plano x O z em que ponto?

Passo 1

O enunciado dá a superfície implícita
4z^2-5x^2+y^3=-9
e diz que o plano tangente em P(a,-2,b) é paralelo ao plano
5x-6y+4z-11=0
Para achar P vamos usar que o vetor normal ao plano tangente é dado por nabla F(P), onde
F(x,y,z)=4z^2-5x^2+y^3+9,
e esse vetor deve ser proporcional a (5,-6,4). Depois, a reta normal em P tem direção nabla F(P) e intercepta o plano xOz (que é y=0); basta achar esse ponto de interseção.

Passo 2

Calculemos o gradiente de F:
nabla F(x,y,z)=l(partial Fpartial x,partial Fpartial y,partial Fpartial zr) =(-10x,;3y^2,;8z)
Em P(a,-2,b) isso vale
nabla F(a,-2,b)=(-10a,;3cdot(-2)^2,;8b)=(-10a,;12,;8b)

Passo 3

A condição de paralelismo diz que existe lambdaneq0 tal que
(-10a,,12,,8b)=lambda,(5,,-6,,4)
Isso gera o sistema
-10a=5lambda, 12=-6lambda, 8b=4lambda
Da segunda equação vem lambda=-2. Substituindo na primeira e terceira:
-10a=5(-2) Rightarrow a=1, 8b=4(-2) Rightarrow b=-1
Logo P=(1,-2,-1).

Passo 4

A reta normal em P é
(x,y,z)=(1,-2,-1)+t,nabla F(1,-2,-1) =(1,-2,-1)+t,(-10,12,-8)
Para intersectar o plano xOz basta pôr y=0:
-2+12t=0Rightarrow t=tfrac16
Então o ponto de interseção é
x=1-10cdottfrac16=1-tfrac106=-tfrac23, z=-1-8cdottfrac16=-1-tfrac43=-tfrac73,
e y=0.

Resposta

l(-tfrac23,,0,,-tfrac73r)

Exercícios relacionados