Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas dada: x^2 + (y - c)^2 = c^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por . Isso está relacionado ao estudo de geometria analítica, especificamente sobre famílias de curvas e suas trajetórias ortogonais. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a equação diferencial da família de curvas e depois obter a das trajetórias ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a família de curvas dada: . Essa equação representa círculos com raio e centros em . O parâmetro varia, gerando diferentes círculos.

Passo 3

Nosso próximo passo é encontrar a equação diferencial da família de curvas. Para isso, vamos derivar a equação em relação a . Diferenciando ambos os lados:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos eliminar o parâmetro da equação. Da equação original , podemos isolar :

Passo 5

Substituindo na equação diferencial :
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Então, a equação diferencial fica:

Passo 6

Agora, vamos reorganizar para obter :

Passo 7

Essa é a equação diferencial da família dada. Para encontrar a equação das trajetórias ortogonais, precisamos usar que, para serem ortogonais, as derivadas devem satisfazer:

Passo 8

Agora, temos a equação diferencial das trajetórias ortogonais:
Vamos resolver essa equação. Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 9

Essa é uma equação diferencial homogênea. Para resolver, fazemos a substituição , ou seja, . Então, .
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 10

Multiplicando ambos os lados por para simplificar:
Rearranjando:
Separando as variáveis:

Passo 11

Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é e do lado direito é , onde é a constante de integração.
Então:

Passo 12

Substituindo :
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os logaritmos:
Onde é uma nova constante.

Passo 13

Multiplicando todos os termos por :
Isso representa a equação geral das trajetórias ortogonais.

Resposta

As trajetórias ortogonais da família de curvas são dadas por , onde é uma constante real.

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