Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
. Isso está relacionado ao estudo de geometria analítica, especificamente sobre famílias de curvas e suas trajetórias ortogonais. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a equação diferencial da família de curvas e depois obter a das trajetórias ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a família de curvas dada:
. Essa equação representa círculos com raio
e centros em
. O parâmetro
varia, gerando diferentes círculos.
Passo 3
Nosso próximo passo é encontrar a equação diferencial da família de curvas. Para isso, vamos derivar a equação em relação a
. Diferenciando ambos os lados:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos eliminar o parâmetro
da equação. Da equação original
, podemos isolar
:
Passo 5
Substituindo
na equação diferencial
:
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Então, a equação diferencial fica:
Passo 6
Agora, vamos reorganizar para obter
:
Passo 7
Essa é a equação diferencial da família dada. Para encontrar a equação das trajetórias ortogonais, precisamos usar que, para serem ortogonais, as derivadas devem satisfazer:
Passo 8
Agora, temos a equação diferencial das trajetórias ortogonais:
Vamos resolver essa equação. Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Essa é uma equação diferencial homogênea. Para resolver, fazemos a substituição
, ou seja,
. Então,
.
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 10
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Rearranjando:
Separando as variáveis:
Passo 11
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
e do lado direito é
, onde
é a constante de integração.
Então:
Passo 12
Substituindo
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os logaritmos:
Onde
é uma nova constante.
Passo 13
Multiplicando todos os termos por
:
Isso representa a equação geral das trajetórias ortogonais.
Resposta
As trajetórias ortogonais da família de curvas
são dadas por
, onde
é uma constante real.