Resolva as equações de Bernoulli: y' - 3/x * y = x^4 * raiz(y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação de Bernoulli dada:
Essa é uma equação diferencial do tipo Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso:
Para resolver, vamos precisar fazer uma substituição que transforma essa equação em uma equação linear, mais fácil de resolver.

Passo 2

A equação de Bernoulli pode ser transformada em uma equação linear realizando a substituição:
No nosso caso, , então:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 3

Vamos reorganizar a equação original para expressar :
Agora, substituímos na expressão de :
Simplificando:

Passo 4

Agora, temos uma equação linear para :
Para resolver essa equação, vamos encontrar um fator integrante :

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Simplificando:
Observe que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Calculando a integral:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Lembrando que , temos:
Elevando ambos os lados à potência para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:
Onde é a constante de integração.

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