Resolva as equações de Bernoulli:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação de Bernoulli dada:
Essa é uma equação diferencial do tipo Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso:
Para resolver, vamos precisar fazer uma substituição que transforma essa equação em uma equação linear, mais fácil de resolver.
Passo 2
A equação de Bernoulli pode ser transformada em uma equação linear realizando a substituição:
No nosso caso,
, então:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 3
Vamos reorganizar a equação original para expressar
:
Agora, substituímos
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, temos uma equação linear para
:
Para resolver essa equação, vamos encontrar um fator integrante
:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Simplificando:
Observe que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Calculando a integral:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, temos:
Elevando ambos os lados à potência
para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli é:
Onde
é a constante de integração.