Encontre a solução geral de cada equação: (1+x^2) y' + 4x y = 1/(1+x^2)^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada na nossa equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares:
Para isso, vamos dividir toda a equação por :
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é essencial para resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Fazendo a substituição , temos . Assim:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Vamos multiplicar toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando os termos:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto . Ou seja:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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