Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O problema pede o valor do seguinte limite quando
se aproxima de
pela direita:
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é
. - Quando
temos e . - Portanto a forma limite é do tipo
, que é uma forma indeterminada — ou seja, não dá para concluir o valor só olhando para as tendências das partes.
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Para lidar com potências na forma indeterminada
uma estratégia padrão é tomar logaritmo natural. Isso transforma potência em produto e normalmente facilita a análise do limite. Seja
Como
na vizinhança de
, podemos aplicar
e obter
Observação importante (justificativa do uso): se conseguirmos
então, pela continuidade da exponencial, teremos
Logo nosso objetivo passa a ser calcular
.
Passo 3
Analise a expressão
Quando
temos
e
. Então a expressão está na forma
, um tipo indeterminado do tipo
. Para aplicar a Regra de L’Hôpital é conveniente transformar o produto em quociente. Escrevemos
Agora, ao fazermos
, o numerador
e o denominador
, isto é, temos uma forma
, apropriada para tentar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Verificação das hipóteses da Regra de L’Hôpital:
- No intervalo
(para algum ) ambas funções e são diferenciáveis. - O limite inicial é
, uma forma indeterminada (com sinal), então a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada.
Portanto aplicamos L’Hôpital, derivando numerador e denominador.
Passo 5
Calcule as derivadas:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Pelo enunciado da Regra de L’Hôpital,
Agora simplificamos a fração das derivadas:
Passo 6
Tomamos o limite da expressão simplificada:
Logo concluímos que
Voltando para
, pela exponenciação:
Passo 7
Comentário adicional (verificação alternativa, opcional): se quiser ver sem L’Hôpital, faça a substituição
com
. Temos
, cuja tendência é
porque a função exponencial domina o fator linear
. Portanto
e
, confirmando o resultado anterior.