Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\sqrt{x}}

Passo 1

O problema pede o valor do seguinte limite quando x se aproxima de 0 pela direita:
\lim_{x\to 0^{+}} x^{\sqrt{x}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é x^{\sqrt{x}}.
  • Quando x\to 0^{+} temos \sqrt{x}\to 0^{+} e x\to 0^{+}.
  • Portanto a forma limite é do tipo 0^{0}, que é uma forma indeterminada — ou seja, não dá para concluir o valor só olhando para as tendências das partes.
    A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Para lidar com potências na forma indeterminada 0^{0} uma estratégia padrão é tomar logaritmo natural. Isso transforma potência em produto e normalmente facilita a análise do limite. Seja
y = x^{\sqrt{x}}.
Como x>0 na vizinhança de 0^{+}, podemos aplicar \ln e obter
\ln y = \sqrt{x}\,\ln x.
Observação importante (justificativa do uso): se conseguirmos \displaystyle \lim_{x\to0^{+}}\ln y = L então, pela continuidade da exponencial, teremos
\lim_{x\to0^{+}} y = \lim_{x\to0^{+}} e^{\ln y} = e^{L}.
Logo nosso objetivo passa a ser calcular \displaystyle \lim_{x\to0^{+}} \sqrt{x}\,\ln x.

Passo 3

Analise a expressão
\sqrt{x}\,\ln x.
Quando x\to 0^{+} temos \sqrt{x}\to 0^{+} e \ln x\to -\infty. Então a expressão está na forma 0\cdot(-\infty), um tipo indeterminado do tipo 0\cdot\infty. Para aplicar a Regra de L’Hôpital é conveniente transformar o produto em quociente. Escrevemos
\sqrt{x}\,\ln x = \frac{\ln x}{x^{-1/2}}.
Agora, ao fazermos x\to 0^{+}, o numerador \ln x\to -\infty e o denominador x^{-1/2}\to +\infty, isto é, temos uma forma -\infty/\infty, apropriada para tentar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Verificação das hipóteses da Regra de L’Hôpital:
  • No intervalo (0,a) (para algum a>0) ambas funções \ln x e x^{-1/2} são diferenciáveis.
  • O limite inicial é -\infty/\infty, uma forma indeterminada \infty/\infty (com sinal), então a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada.
    Portanto aplicamos L’Hôpital, derivando numerador e denominador.

Passo 5

Calcule as derivadas:
  • Derivada do numerador: (\ln x)' = \dfrac{1}{x}.
  • Derivada do denominador: (x^{-1/2})' = -\dfrac{1}{2}x^{-3/2}.
    Pelo enunciado da Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln x}{x^{-1/2}} = \lim_{x\to0^{+}}\frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{2}x^{-3/2}}.
Agora simplificamos a fração das derivadas:
\frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{2}x^{-3/2}} = \left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-2x^{3/2}\right) = -2x^{1/2} = -2\sqrt{x}.

Passo 6

Tomamos o limite da expressão simplificada:
\lim_{x\to0^{+}} -2\sqrt{x} = -2\cdot 0 = 0.
Logo concluímos que
\lim_{x\to0^{+}} \ln y = 0.
Voltando para y, pela exponenciação:
\lim_{x\to0^{+}} y = \lim_{x\to0^{+}} e^{\ln y} = e^{0} = 1.

Passo 7

Comentário adicional (verificação alternativa, opcional): se quiser ver sem L’Hôpital, faça a substituição x = e^{-u} com u\to +\infty. Temos \ln y = \sqrt{e^{-u}}(-u) = -u e^{-u/2}, cuja tendência é 0 porque a função exponencial domina o fator linear u. Portanto \ln y\to 0 e y\to 1, confirmando o resultado anterior.

Resposta

1

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