Questão-8. Sejam U e W são subespaços vetoriais do espaço vetorial V=R^13, dim(U)=8 e dim(W)=7. Determine o menor e o maior valor possível para a:
a) dim(U cap W)
b) dim(U+W)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de Álgebra Linear que trata de subespaços vetoriais. Especificamente, temos dois subespaços U e W dentro de um espaço vetorial V = R^13 , com dimensões dim(U) = 8 e dim(W) = 7 . A gente precisa descobrir qual é o menor e o maior valor possível para:
a) dim(U cap W)
b) dim(U + W)
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos sobre dimensões de subespaços, interseção e soma de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a interseção de subespaços, U cap W . Esse conjunto contém todos os vetores que estão tanto em U quanto em W . A dimensão dessa interseção, dim(U cap W) , nos diz quantos vetores são “comuns” aos dois subespaços.

Passo 3

Agora, a soma de subespaços, U + W , é o conjunto formado por todas as combinações lineares de vetores de U e W . A dimensão dessa soma, dim(U + W) , nos indica quantos vetores são necessários para gerar todo o espaço U + W .

Passo 4

O teorema fundamental que vamos usar aqui relaciona a dimensão da soma e da interseção de dois subespaços. Ele diz que:
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W)
Esse relacionamento é super útil para encontrar os valores mínimos e máximos de dim(U cap W) e dim(U + W) .

Passo 5

Vamos começar com a parte a): encontrar o menor e o maior valor possível para dim(U cap W) .
Sabemos que a dimensão da interseção nunca pode ser negativa e, no máximo, pode ser a menor dimensão entre os dois subespaços. Então,
dim(U cap W) <= min(dim(U), dim(W)) = min(8, 7) = 7
Esse é o valor máximo de dim(U cap W) .

Passo 6

Para encontrar o valor mínimo de dim(U cap W) , usamos a relação:
dim(U cap W) >= dim(U) + dim(W) - dim(V)
Substituindo os valores:
dim(U cap W) >= 8 + 7 - 13 = 2
Então, dim(U cap W) pode variar de 2 até 7.

Passo 7

Agora, vamos para a parte b): determinar o menor e o maior valor possível para dim(U + W) .
Usando o teorema que mencionamos:
dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W)
Sabendo que dim(U cap W) varia entre 2 e 7, podemos encontrar os limites para dim(U + W) .

Passo 8

Para encontrar o maior valor de dim(U + W) , usamos o menor valor de dim(U cap W) :
dim(U + W) = 8 + 7 - 2 = 13
Esse é o valor máximo de dim(U + W) .

Passo 9

Para encontrar o menor valor de dim(U + W) , usamos o maior valor de dim(U cap W) :
dim(U + W) = 8 + 7 - 7 = 8
Então, dim(U + W) varia de 8 até 13.

Resposta

a) dim(U cap W) pode variar entre 2 e 7.
b) dim(U + W) pode variar entre 8 e 13.

Exercícios relacionados