Questão-8. Sejam U e W são subespaços vetoriais do espaço vetorial
,
e
. Determine o menor e o maior valor possível para a:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de Álgebra Linear que trata de subespaços vetoriais. Especificamente, temos dois subespaços
e
dentro de um espaço vetorial
, com dimensões
e
. A gente precisa descobrir qual é o menor e o maior valor possível para:
a)
b)
b)
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos sobre dimensões de subespaços, interseção e soma de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a interseção de subespaços,
. Esse conjunto contém todos os vetores que estão tanto em
quanto em
. A dimensão dessa interseção,
, nos diz quantos vetores são “comuns” aos dois subespaços.
Passo 3
Agora, a soma de subespaços,
, é o conjunto formado por todas as combinações lineares de vetores de
e
. A dimensão dessa soma,
, nos indica quantos vetores são necessários para gerar todo o espaço
.
Passo 4
O teorema fundamental que vamos usar aqui relaciona a dimensão da soma e da interseção de dois subespaços. Ele diz que:
Esse relacionamento é super útil para encontrar os valores mínimos e máximos de
e
.
Passo 5
Vamos começar com a parte a): encontrar o menor e o maior valor possível para
.
Sabemos que a dimensão da interseção nunca pode ser negativa e, no máximo, pode ser a menor dimensão entre os dois subespaços. Então,
Esse é o valor máximo de
.
Passo 6
Para encontrar o valor mínimo de
, usamos a relação:
Substituindo os valores:
Então,
pode variar de 2 até 7.
Passo 7
Agora, vamos para a parte b): determinar o menor e o maior valor possível para
.
Usando o teorema que mencionamos:
Sabendo que
varia entre 2 e 7, podemos encontrar os limites para
.
Passo 8
Para encontrar o maior valor de
, usamos o menor valor de
:
Esse é o valor máximo de
.
Passo 9
Para encontrar o menor valor de
, usamos o maior valor de
:
Então,
varia de 8 até 13.
Resposta
a)
pode variar entre 2 e 7.
b)
pode variar entre 8 e 13.