Determine uma transformação linear T: R^3 R^2 cujo núcleo seja gerado pelos vetores e1=(1,0,0) e e2=(0,1,0).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:R^3toR^2 cujo núcleo seja
ker T=spane1=(1,0,0),,e2=(0,1,0).
O conteúdo principal é usar o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity) e caracterizar o núcleo em coordenadas.

Passo 2

Pela dimensão do espaço domínio ( dimR^3=3) e do núcleo ( dimker T=2), o teorema do núcleo e da imagem dá
dimImT =3-dimker T =1
Isso significa que a imagem de T é uma reta em R^2.

Passo 3

Note que
span(1,0,0),(0,1,0) = (x,y,0)mid x,yinR,
isto é, em coordenadas (x,y,z) o núcleo é o conjunto de vetores com z=0. Logo, um funcional linear que anule exatamente esses vetores é
L(x,y,z)=z,
pois L(x,y,z)=0 se, e somente se, z=0.

Passo 4

Para obter T:R^3toR^2 de posto 1, basta usar L numa das componentes de saída (ou numa combinação não trivial das duas). Por exemplo, definimos
T(x,y,z) = l(z,,0r)
É claro que T é linear e seu núcleo é exatamente (x,y,z)mid z=0, i.e.\ spane1,e2.

Resposta

Uma transformação que funciona é
T(x,y,z) = (,z,,0,),
pois ker T=(x,y,0)mid x,yinR=spane1,e2.

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