Determine uma transformação linear
cujo núcleo seja gerado pelos vetores
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
cujo núcleo seja
.
O conteúdo principal é usar o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity) e caracterizar o núcleo em coordenadas.
O conteúdo principal é usar o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity) e caracterizar o núcleo em coordenadas.
Passo 2
Pela dimensão do espaço domínio (
) e do núcleo (
), o teorema do núcleo e da imagem dá
Isso significa que a imagem de
é uma reta em
.
Passo 3
Note que
isto é, em coordenadas
o núcleo é o conjunto de vetores com
. Logo, um funcional linear que anule exatamente esses vetores é
pois
se, e somente se,
.
Passo 4
Para obter
de posto
, basta usar
numa das componentes de saída (ou numa combinação não trivial das duas). Por exemplo, definimos
É claro que
é linear e seu núcleo é exatamente
, i.e.\
.
Resposta
Uma transformação que funciona é
pois
.