Sejam
e
espaços vetoriais e
uma transformação linear. Mostre que:
(a) Se os vetores
geram
, então os vetores
geram
.
(b) Se
é L.I.,
e
é injetora, então
é L.I. Mostre com um contra-exemplo que o fato de
ser injetora é essencial para que
seja L.I.
(a) Se os vetores
(b) Se
Passo 1
O enunciado diz que temos espaços vetoriais
e
e uma transformação linear
Na parte (a) queremos mostrar que, se
gera
, então
gera
.
Na parte (b) queremos mostrar que, se é linearmente independente em
e
é injetora, então
é linearmente independente em
. Por fim, dar um contra-exemplo que mostra por que a injetividade de
é essencial.
Na parte (b) queremos mostrar que, se
Passo 2
Prova de (a): seja
logo existe
tal que
. Como
gera
, escrevemos
Pela linearidade de
segue
Isto mostra que
é combinação linear dos
, logo
Como cada
pertence claramente a
, temos igualdade de subespaços e portanto
gera
.
Passo 3
Prova de (b): suponha que
Pela linearidade de
isso é
Como
é injetora, o único vetor que vai para zero é o zero de
, ou seja
Mas
é L.I., logo todos os
devem ser zero. Concluímos que
é L.I.
Passo 4
Contra-exemplo sem injetividade: seja
,
e
Então
não é injetora (ex.\
). Tome
, que é L.I. em
. Temos
e
em
não é L.I. (porque contém o vetor zero). Isso mostra que sem injetividade de
a imagem de um conjunto L.I. pode falhar em ser L.I.
Resposta
(a) Para todo
existe
com
e, como
é combinação dos
,
é combinação dos
. Concluímos que
gera
.
(b) Se então
; pela injetividade vem
e, como
é L.I., segue
. Logo
é L.I.
Contra-exemplo: ,
não é injetora; em
vemos que
não é L.I., mostrando a necessidade de
injetora.
(b) Se
Contra-exemplo: