Sejam V e U espaços vetoriais e T: V U uma transformação linear. Mostre que:
(a) Se os vetores v1, v2, ldots, vn geram V, então os vetores T(v1), T(v2), ldots, T(vn) in U geram Im(T).
(b) Se S=v1, v2, ldots, vn é L.I., S subset V e T é injetora, então T(v1), T(v2), ldots T(vn) é L.I. Mostre com um contra-exemplo que o fato de T ser injetora é essencial para que T(v1), T(v2), ldots, T(vn) seja L.I.

Passo 1

O enunciado diz que temos espaços vetoriais V e U e uma transformação linear
Tcolon V to U
Na parte (a) queremos mostrar que, se v1,dots,vn gera V, então T(v1),dots,T(vn) gera Im(T).
Na parte (b) queremos mostrar que, se S=v1,dots,vn é linearmente independente em V e T é injetora, então T(v1),dots,T(vn) é linearmente independente em U. Por fim, dar um contra-exemplo que mostra por que a injetividade de T é essencial.

Passo 2

Prova de (a): seja
logo existe tal que . Como gera , escrevemos
Pela linearidade de segue
Isto mostra que é combinação linear dos , logo
Como cada pertence claramente a , temos igualdade de subespaços e portanto gera .

Passo 3

Prova de (b): suponha que
sumi=1^n alphai,T(vi) = 0
Pela linearidade de T isso é
Tl(sumi=1^n alphai vir) = 0
Como T é injetora, o único vetor que vai para zero é o zero de V, ou seja
sumi=1^n alphai vi = 0
Mas v1,dots,vn é L.I., logo todos os alphai devem ser zero. Concluímos que T(vi) é L.I.

Passo 4

Contra-exemplo sem injetividade: seja V=R^2, U=R e
T(x,y)=x
Então T não é injetora (ex.\ T(0,1)=0=T(0,0)). Tome S=(1,0),(0,1), que é L.I. em R^2. Temos
T(1,0)=1, T(0,1)=0,
e 1,0 em R não é L.I. (porque contém o vetor zero). Isso mostra que sem injetividade de T a imagem de um conjunto L.I. pode falhar em ser L.I.

Resposta

(a) Para todo winIm(T) existe vin V com w=T(v) e, como v é combinação dos vi, w é combinação dos T(vi). Concluímos que T(vi) gera Im(T).
(b) Se sum alphai T(vi)=0 então T(sumalphai vi)=0; pela injetividade vem sumalphai vi=0 e, como vi é L.I., segue alphai=0. Logo T(vi) é L.I.
Contra-exemplo: TcolonR^2toR, T(x,y)=x não é injetora; em S=(1,0),(0,1) vemos que T(1,0),T(0,1)=1,0 não é L.I., mostrando a necessidade de T injetora.

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