Sejam S: R^2 R^2 dada por S(x, y)=(y, x) e T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(-x, y). Geometricamente, S e T produzem reflexões em relação às retas y=x e x=0, respectivamente. Determine:
(a) S^-1(x, y).
(b) T^-1(x, y).
(c) (S circ T)(x, y) e interprete geometricamente.
(d) (T circ S)(x, y) e interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado define duas transformações lineares em R^2:
S(x,y)=(y,x), reflexão em torno da reta y=x, e
T(x,y)=(-x,y), reflexão em torno da reta x=0.
Vamos precisar usar as propriedades de inversão de funções bijetoras (reflexões são involuções) e a composição de reflexões em R^2.

Passo 2

Para achar S^-1, note que aplicar S duas vezes retorna o ponto original, pois
Sl(S(x,y)r)=S(y,x)=(x,y)
Logo S é involutiva e sua própria inversa. Portanto
S^-1(x,y)=(y,x)

Passo 3

De modo semelhante, T também é involutiva, pois
Tl(T(x,y)r)=T(-x,y)=(-(-x),y)=(x,y)
Logo
T^-1(x,y)=(-x,y)

Passo 4

Agora calculamos a composição Scirc T. Primeiro aplicamos T, depois S:
(Scirc T)(x,y) = Sl(T(x,y)r) = S(-x,y) =(y,-x)
Geometricamente, a composição de duas reflexões cujas retas formam ângulo de 45^circ produz uma rotação de 2times45^circ=90^circ. Aqui obtemos
(y,-x), que é a rotação de -90^circ (sentido horário) em torno da origem.

Passo 5

Por fim, a composição Tcirc S inverte a ordem:
(Tcirc S)(x,y) = Tl(S(x,y)r) = T(y,x) =(-y,x)
Isso corresponde a uma rotação de +90^circ (sentido anti-horário) em torno da origem.

Resposta

(a) S^-1(x,y)=(y,x).
(b) T^-1(x,y)=(-x,y).
(c) (Scirc T)(x,y)=(y,-x), rotação de -90^circ (horário).
(d) (Tcirc S)(x,y)=(-y,x), rotação de +90^circ (anti-horário).

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