Sejam
dada por
e
dada por
. Geometricamente,
e
produzem reflexões em relação às retas
e
, respectivamente. Determine:
(a)
.
(b)
.
(c)
e interprete geometricamente.
(d)
e interprete geometricamente.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado define duas transformações lineares em
:
, reflexão em torno da reta
, e
, reflexão em torno da reta
.
Vamos precisar usar as propriedades de inversão de funções bijetoras (reflexões são involuções) e a composição de reflexões em .
Vamos precisar usar as propriedades de inversão de funções bijetoras (reflexões são involuções) e a composição de reflexões em
Passo 2
Para achar
, note que aplicar
duas vezes retorna o ponto original, pois
Logo
é involutiva e sua própria inversa. Portanto
Passo 3
De modo semelhante,
também é involutiva, pois
Logo
Passo 4
Agora calculamos a composição
. Primeiro aplicamos
, depois
:
Geometricamente, a composição de duas reflexões cujas retas formam ângulo de
produz uma rotação de
. Aqui obtemos
, que é a rotação de
(sentido horário) em torno da origem.
Passo 5
Por fim, a composição
inverte a ordem:
Isso corresponde a uma rotação de
(sentido anti-horário) em torno da origem.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) , rotação de
(horário).
(d) , rotação de
(anti-horário).
(b)
(c)
(d)