Seja um operador linear tal que e .
(a) Determine .
(b) Determine a matriz da transformação com respeito à base canônica de .
(c) é isomorfismo? Se for, calcule sua inversa.
Passo 1
O enunciado define um operador linear
pelas imagens em três vetores:
Esses três vetores formam uma base de .
Vamos usar a teoria de operadores lineares:
Expressar como combinação linear da base dada.
Aplicar a essa combinação, obtendo .
Extrair a matriz na base canônica e checar invertibilidade para achar .
Passo 2
Seja a base com
Procuramos escalares tais que
Em coordenadas:
Dessa igualdade tiramos o sistema
cuja solução é
a = x, c = z - x, b = y - c = y - (z - x) = x + y - z