Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que T(1,0,1)=(1,1,0), T(0,1,0)=(1,0,-1) e T(0,1,1)= (0,0,1).
(a) Determine T(x, y, z).
(b) Determine a matriz da transformação com respeito à base canônica de R^3.
(c) T é isomorfismo? Se for, calcule sua inversa.

Passo 1

O enunciado define um operador linear
;T:R^3toR^3
pelas imagens em três vetores:
T(1,0,1)=(1,1,0), T(0,1,0)=(1,0,-1), T(0,1,1)=(0,0,1)
Esses três vetores formam uma base de R^3.
Vamos usar a teoria de operadores lineares:
  1. Expressar (x,y,z) como combinação linear da base dada.
  2. Aplicar T a essa combinação, obtendo T(x,y,z).
  3. Extrair a matriz na base canônica e checar invertibilidade para achar T^-1.

Passo 2

Seja a base B=b1,b2,b3 com
b1=(1,0,1), b2=(0,1,0), b3=(0,1,1)
Procuramos escalares a,b,c tais que
a,b1+b,b2+c,b3=(x,y,z)
Em coordenadas:
a,(1,0,1)+b,(0,1,0)+c,(0,1,1) =(a,;b+c,;a+c)=(x,y,z)
Dessa igualdade tiramos o sistema
a = x, b+c = y, a+c = z,
cuja solução é
a = x, c = z - x, b = y - c = y - (z - x) = x + y - z

Passo 3

Como T é linear,
T(x,y,z) = a,T(b1)+b,T(b2)+c,T(b3) = x,(1,1,0) +(x+y-z),(1,0,-1) +(z-x),(0,0,1)
Somando coordenadas:
T(x,y,z) =l(2x+y-z,;x,;-2x-y+2zr)

Passo 4

Na base canônica e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) temos
T(e1)=T(1,0,0)=(2,1,-2), T(e2)=T(0,1,0)=(1,0,-1), T(e3)=T(0,0,1)=(-1,0,2)
Logo a matriz de T na base canônica é
A = 2 & 1 & -1 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 2 ,
pois suas colunas são T(e1),T(e2),T(e3).

Passo 5

Calculamos det A:
det A = -1neq 0,
logo T é bijetora e, portanto, isomorfismo. Para achar T^-1, resolvemos
(u1,u2,u3)=T(x,y,z)=(2x+y-z,;x,;-2x-y+2z)
em função de (u1,u2,u3). Da segunda coordenada vem x=u2.
Então
y - z = u1 -2u2, - y +2z = u3+2u2
Dessas equações obtemos
y=2u1 -2u2+u3, z= u1+u3
Assim
T^-1(u1,u2,u3) =l(u2,;2u1-2u2+u3,;u1+u3r)

Resposta

(a) T(x,y,z)=(2x+y-z,;x,;-2x-y+2z)
(b) [T]rm can=2&1&-11&0&0-2&-1&2
(c) Sim, detneq0. Sua inversa é
T^-1(u1,u2,u3) =l(u2,;2u1-2u2+u3,;u1+u3r)

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