Determine se a transformação linear
definida por
é injetiva e/ou sobrejetiva.
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear
Vamos verificar se
é injetiva (isto é, se
) e se é sobrejetiva (isto é, se
).
Passo 2
Para testar injetividade, consideramos
Se existir
com
, então
e
não é injetiva. Por exemplo,
logo
e
é não trivial. Assim,
não é injetiva.
Passo 3
Para testar sobrejetividade, dado um valor arbitrário
basta encontrar
tal que
. A escolha natural é o polinômio constante
pois então
Como todo
ocorre na imagem,
e
é sobrejetiva.