Determine se a transformação linear T: P2(R) R definida por T(p(x))=p(1) é injetiva e/ou sobrejetiva.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
T: P2(R) to R, Tl(p(x)r)=p(1)
Vamos verificar se T é injetiva (isto é, se ker(T)=0) e se é sobrejetiva (isto é, se Im(T)=R).

Passo 2

Para testar injetividade, consideramos
ker(T)=,pin P2(R) mid p(1)=0
Se existir pneq 0 com p(1)=0, então ker(T)neq0 e T não é injetiva. Por exemplo,
p(x)=x-1neq 0, p(1)=1-1=0,
logo pinker(T) e ker(T) é não trivial. Assim, T não é injetiva.

Passo 3

Para testar sobrejetividade, dado um valor arbitrário yinR basta encontrar pin P2(R) tal que T(p)=y. A escolha natural é o polinômio constante
p(x)=y,
pois então
T(p)=p(1)=y
Como todo yinR ocorre na imagem, Im(T)=R e T é sobrejetiva.

Resposta

T não é injetiva e é sobrejetiva.

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