Seja T: M2 times 2(R) R^2 definida por T(A)=(a11+a22, a12+a21), onde
A=(ll a11 & a12 a21 & a22 )
Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
; dada por
onde
Precisamos mostrar que é linear, ou seja, que para todas as matrizes e todo escalar vale
. (aditividade)
. (homogeneidade)

Passo 2

(Prova da aditividade)
Sejam
A=(aij), B=(bij), A+B=(aij+bij)
Então
T(A+B) =l((a11+b11)+(a22+b22),;(a12+b12)+(a21+b21)r)
Agrupando termos,
T(A+B) =l(a11+a22,,a12+a21r) ;+;l(b11+b22,,b12+b21r) =T(A)+T(B)

Passo 3

(Prova da homogeneidade)
Para lambdainR e A=(aij), tem-se
lambda A=(lambda,aij) Longrightarrow T(lambda A) =l(lambda a11+lambda a22,;lambda a12+lambda a21r)
Como fatoramos lambda,
T(lambda A) =l(lambda(a11+a22),;lambda(a12+a21)r) =lambda,l(a11+a22,;a12+a21r) =lambda,T(A)

Resposta

Como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que T é de fato uma transformação linear.

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