Seja
definida por
, onde
Mostre que
é uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado define uma aplicação
; dada por
onde
Precisamos mostrar que
é linear, ou seja, que para todas as matrizes
e todo escalar
vale
.
(aditividade)
.
(homogeneidade)
Passo 2
(Prova da aditividade)
Sejam
Sejam
Então
Agrupando termos,
Passo 3
(Prova da homogeneidade)
Para e
, tem-se
Para
Como fatoramos
,
Resposta
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que
é de fato uma transformação linear.