Seja T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(2 x-y, x+3 y). Mostre que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (2x - y,;x + 3y)
O conteúdo é transformação linear em álgebra linear. Para mostrar que T é linear, precisamos verificar duas propriedades:
  1. Aditividade: T(u+v) = T(u) + T(v).
  2. Homogeneidade: T(lambda u) = lambda,T(u).

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u + v = (x1+x2,;y1+y2),
e
T(u+v) = T(x1+x2,;y1+y2) = l(2(x1+x2)-(y1+y2),;(x1+x2)+3(y1+y2)r)
Distribuindo, obtemos
T(u+v) = (2x1 - y1 + 2x2 - y2,;x1+3y1 + x2+3y2) = (2x1-y1,;x1+3y1) + (2x2-y2,;x2+3y2)
Portanto
T(u+v) = T(u) + T(v)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja lambdainR e u=(x,y). Então
lambda,u = (lambda x,;lambda y),
e
T(lambda,u) = T(lambda x,;lambda y) = l(2(lambda x)-(lambda y),;(lambda x)+3(lambda y)r)
Fatorando lambda, vem
T(lambda,u) = (lambda(2x-y),;lambda(x+3y)) = lambda,(2x-y,;x+3y) = lambda,T(u)

Resposta

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

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