Determine uma transformação linear A: R^3 R^3 tal que (1,1,1) in Im A e (1,0,0) in ker A^*.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear A:R^3toR^3 tal que
  1. (1,1,1)inIm,A,
  2. (1,0,0)inker A^*.
    O conteúdo chave aqui é a relação entre a imagem de A e o núcleo de seu adjunto A^* no produto interno padrão de R^3.

Passo 2

Em espaços euclidianos com o produto interno padrão, vale o teorema
ker A^* ;=; (Im,A)^perp,
ou seja, todo vetor em ker A^* é ortogonal a todos os vetores de Im,A.

Passo 3

Como (1,0,0)inker A^*, segue que
(1,0,0);perp;Im,A
Se por acaso (1,1,1) estivesse em Im,A, também deveria satisfazer
lang<=(1,0,0),(1,1,1)rang<= ;=; 0

Passo 4

Calculamos o produto interno:
lang<=(1,0,0),(1,1,1)rang<= ;=; 1cdot1 + 0cdot1 + 0cdot1 ;=; 1 neq 0
Isso mostra que (1,1,1) não pode estar em Im,A se (1,0,0)inker A^*.

Resposta

Não existe nenhuma transformação linear A:R^3toR^3 que satisfaça simultaneamente (1,1,1)inIm,A e (1,0,0)inker A^*.

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