Se A u=w tem uma solução e A^* v=0, podemos afirmar que v é perpendicular a w ?

Passo 1

O enunciado diz que existe u tal que
A,u = w
e que v satisfaz
A^*,v = 0
O conteúdo envolvido é a relação entre os subespaços coluna de A e o núcleo de A^*, parte do Teorema dos Quatro Subespaços em álgebra linear, que diz que
N(A^*) = l(C(A)r)^perp

Passo 2

De A,u = w concluímos que
w in C(A),
ou seja, w pertence ao espaço coluna de A.

Passo 3

De A^*,v = 0 obtemos
v in N(A^*),
isto é, v pertence ao núcleo de A^*.

Passo 4

Pelo Teorema dos Quatro Subespaços sabemos que
N(A^*) = l(C(A)r)^perp
Isso significa que todo vetor em N(A^*) é ortogonal a qualquer vetor em C(A).

Passo 5

Como vinN(A^*) e winC(A), segue que
v perp w

Resposta

Sim. v é perpendicular a w.

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