Seja A: V W uma transformação linear injetiva e não-sobrejetiva. Encontre uma inversa à esquerda para a transformação linear A: R^2 R^4 dada por A(x1, x2)=(x1+x2, x1-x2,-x1+x2,-x1-x2).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
A:R^2toR^4, A(x1,x2)=(x1+x2,,x1-x2,,-x1+x2,,-x1-x2),
que é injetiva e não sobrejetiva. Precisamos achar uma aplicação linear
B:R^4toR^2
tal que
Bcirc A=IdR^2

Passo 2

Denote
Queremos expressar .

Passo 3

Use as duas primeiras equações para isolar x1 e x2:
somando y1+y2
y1+y2=(x1+x2)+(x1-x2)=2x1 Longrightarrow x1=y1+y22,
subtraindo y1-y2
y1-y2=(x1+x2)-(x1-x2)=2x2 Longrightarrow x2=y1-y22

Passo 4

Definimos então a inversa à esquerda B:R^4toR^2 por
B(y1,y2,y3,y4) =l(tfracy1+y22,,tfracy1-y22r)
De fato, para x=(x1,x2) vale
Bl(A(x1,x2)r) =B(y1,y2,y3,y4) =l(tfrac(x1+x2)+(x1-x2)2,, tfrac(x1+x2)-(x1-x2)2r) =(x1,x2)

Resposta

Uma escolha conveniente para a inversa à esquerda é
A^L:R^4toR^2, A^L(y1,y2,y3,y4) =l(tfracy1+y22,,tfracy1-y22r)

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